Подмечая закономерность, напишем сразу все 3 формулы преобразования

R_a = , (2.10)

R_в = , (2.11)

R_c = . (2.12)

В частном случае, если R_ав = R_вс = R_са = R то: R=,R=. (2.13)

Формулы обратного преобразования, т.е. из в , можно получить, если перемножить почленно и попарно равенства (2.10), (2.11), (2.12) и их сложить:

R_аR_в + R_вR_с + R_сR_а = , (2.14)

R_аR_в + R_вR_с + R_сR_а = , (2.15)

R_с = , (2.16)

+ R_в + R_а = R_ав . (2.17)

Подмечая мнемоническую закономерность, напишем сразу 3 формулы обратного преобразования:

R_ав = R_а + R_в + , (2.18)

R_вс = R_в + R_с + , (2.19)

R_са = R_с + R_а + .(2.20)

В частном случае, если R_а=R_в=R_с=, то R_=++.

R_=3.

2.6. Метод эквивалентного генератора

В некоторых случаях необходимо исследовать режим работы только одной ветви сложной цепи при изменении сопротивления этой ветви; в остальных ветвях цепи ЭДС и сопротивления остаются неизмененными.

При таких условиях, вместо повторных громоздких расчетов, целесообразно воспользоваться методом эквивалентного генератора.

Поэтому выделяют нужную ветвь, а всю остальную часть схемы представляют активным двухполюсником. Этот двухполюсник рассматривают как эквивалентный генератор (рис. 2.8).

Рис. 2.8

Для расчета надо знать ЭДС. Е генератора и его внутреннее сопротивление R_вн . ЭДС Епринимают равной напряжению схемы на зажимах разомкнутой исследуемой ветви (ав ).

Е=U. (2.21)

R_вн - генератора подсчитывают как R_вхав при закороченных источниках питания, а их внутренние сопротивления остаются.

Тогда расчетная схема приобретает вид, показанный на рис. 2.9.

Рис. 2.9

Из 2-го закона Кирхгофа для схемы (рис. 2.9) имеем:

. (2.22)

Меняя R в исследуемой ветви, можно составить таблицу и по ней построить график I = f(R) (рис. 2.10).

Рис. 2.10

Имея график (рис. 2.10), можно сразу найти ток I при любом изменении R.

На практике очень важно, что Е и R_вн генератора могут быть определены опытным путем.

Для этого, в отношении выделенной ветви ( ав ) проводят два опыта:

1) холостого хода – замеряют Е=U_авхх вольтметром,

2) короткого замыкания – замеряют I_кз амперметром.

При коротком замыкании R=0 и по формуле (2.22) имеем:

I_кз = , откуда R = . (2.23)

2.7. Баланс мощности в сложной цепи постоянного тока

Баланс мощности для цепи имеет вид:

. (2.24)

При этом надо иметь ввиду правило знаков:

1) в правой части все знаки (+),

2) в левой части равенства будет знак (+), если Е_кI_к ,

и знак (), если Е_кI_{к .}.

В последнем случае источник перешел в режим работы потребителя энергии. В некоторых случаях уравнение (2.24) легко получить аналитически (рис. 2.11).

Рис. 2.11

Уравнение первого закона Кирхгофа

I₁ – I₃ – I₂ = 0,

умножим на U

I₁U_{а в} – I₃U_ав – I₂U_ав = 0,

I₁(E₁ – I₁R₁) – I₃(I₃R₃) – I₂(E₂ + I₂R₂) = 0,

тогда:

E₁I₁ – E₂I₂ = I₁²R₁ + I₂²R₂ + I₃²R_3.

3. Электрические цепи однофазного переменного тока

3.1. Общие сведения

Переменным током вообще называется такой ток, который может изменять как свою величину, так и направление. В начале мы будем изучать периодические переменные токи, значения которых повторяются через равные промежутки времени. Наименьший из таких промежутков называется периодом Т [с].

, (3.1)

где К – целое число.

Число периодов в секунду называется частотой [Гц].

Из периодических функций удобнее для практического применения такие, среднее значение которых за период равно нулю, т.е. . При этом, самая удобная форма кривой тока – синусоида.

Во-первых, синусоида – единственная периодическая функция, имеющая подобные себе по форме производную и интеграл. Действительно, если:

, то , а.

Это обстоятельство позволяет не искажать форму кривой тока и напряжения при их преобразованиях в различных звеньях электрической цепи. Например:

- обычное умножение тока,

- дифференцирование тока,

- интегрирование тока.

Кроме того, значительно, облегчаются расчеты электрических цепей, если токи в них синусоидальны. Можно применить векторные диаграммы и символический метод.

При произвольной форме тока и напряжения функцию разлагают в ряд Фурье, расчет ведут для отдельных гармоник, а затем результаты суммируют по принципу наложения (если цепь линейна). Синусоидальные токи в промышленности получают от машинных генераторов, чаще всего, от трехфазных синхронных генераторов. В основе работы синхронного генератора (рис. 3.1) лежит принцип электромагнитной индукции:

.

Свяжем частоту f получаемого тока и напряжения со скоростью ротора генератора “n” и числом пар полюсов “P”. Один оборот соответствует одному периоду.

Если Р=1, то 1 об/с – 1 Гц,

n об/с – n Гц,

n об/мин – n/60 Гц.

В общем случае, при Р >1

. (3.2)

Рис. 3.1

В аналитических расчетах чаще пользуются понятием угловой или круговой частоты ω [1/с]:

.(3.3)

Аналитическое выражение синусоидального тока и напряжения в одной и той же цепи:

, (3.4)

, (3.5)

где:

ί, u – мгновенное значение тока и напряжения;

I_m, U_m – их максимальные значения (амплитуды);

- фазный угол;

ψ_i, ψ_u – начальные фазы тока и напряжения, т.е. фазные углы при t=0;

- разность фаз, или сдвиг по фазе.

Знак начальной фазы ψ_u или ψ_i определяется по направлению стрелки, проведенной от ближайшего начала синусоиды до начала координат: если стрелка

вправо – (+); влево – (-).

Знак φ на графике определяется направлением стрелки, проведенной от начала синусоиды напряжения до начала ближайшей синусоиды тока.

В нашем случае на рис. 3.2 ψu (+) ψi (+) (+)

Рис. 3.2