3.12. Резонанс напряжений

Электрическим резонансом вообще называют такой режим работы пассивной цепи, содержащей индуктивность L и емкость С, при котором приложенное напряжение U и ток в неразветвленной части цепи I совпадает по фазе, т.е. угол φ=0;

Иными словами, при резонансе электрическая цепь ведет себя как чисто активное сопротивление.

Если в электрической цепи элементы r, L, C соединены последовательно (рис. 3.29), то возможен резонанс напряжений. Вначале рассмотрим случай идеального резонанса,

т.е. когда катушка L и конденсатор С не содержат активного сопротивления. Если по основному условию φ=0, то:

. Откуда x=x_L- x_c=0; x_L=x_c или .

Рис. 3.29

. (3.50)

Т.о., резонанса напряжений можно добиться изменением частоты ω, индуктивности L или емкости С, причем можно менять один параметр, два или все три, лишь бы соблюдалось равенство (3.50).

Из (3.50) следует: ;, т.е. при идеальном резонансе частотаω равна собственной частоте контура ω_0. Используя это свойство, получим соотношение:

, , При резонансе , значит- минимально, - максимален.

- волновое сопротивление [Ом], - добротность контура, - затухание контура.

Напряжения на элементах контура:

, . - напряжение цепи. Таким образом, напряжения на L и C равны по величине и противоположны по фазе.

Т.о. напряжения на L и C равны по величине и противоположны по фазе.

При ρ >> r, т.е. при Q >> 1, U_L и U_C могут значительно превосходить U, откуда и происходило название резонанса напряжений. Энергетическое соотношение при резонансе:

; ;;.

При резонансе максимум энергии электрического поля конденсатора равен максимуму энергии магнитного поля катушки индуктивности.

В произвольный момент времени:

; ;

;

.

Суммарный запас энергии остается постоянным, равнымили, энергия от источника идет только на покрытие потерь в активном сопротивлении. Приложенное напряжение:

.

Векторная диаграмма при идеальном резонансе напряжений показана на рис. 3.30.

Для реальной катушки (r,L) и реального конденсатора (r₂, C), включенных последовательно с реостатом r, векторная диаграмма имеет следующий вид (рис. 3.31):

Рис. 3.30

; ;

; .

Опасность резонанса напряжений – неучтенное повышение напряжение на отдельных реактивных элементах электрической установки (например, при включении трансформатора (L) на кабель без нагрузки (С)).

Полезное применение – резонанс широко используется в радиомеханике для настройки схем на заданную частоту.

Рис. 3.31

3.13. Резонанс токов

Если в электрической цепи элементы q, L, C соединены параллельно, то возможен резонанс токов (рис. 3.32).В начале рассмотрим случай идеального резонанса, т.е. когда катушка L и конденсатор C не содержат активной

Рис. 3.32 проводимости.

По основному условию резонанса: φ=0.

Значит, ;;, или, откуда. (3.51).

Т.о., резонанса токов можно добиться изменением частоты ω, индуктивности L или емкости C, причем можно менять один параметр, два или все три, лишь бы соблюдалось равенство (3.51).

Из (3.51) следует: ;; т.е. при идеальном резонансе токов частота источникаω равна собственной частоте цепи ω₀. Используя это свойство, получим соотношения:

, . При резонансе , значит проводимость- минимальна, общий ток ток --минимален. Если -волновая проводимость, - добротность цепи, - затухание цепи.

Тогда токи в отдельных ветвях:

, , - общий ток. Т.о. токи в реактивных ветвях L и C равны по величине и противоположны по фазе.

При γ >> q, т.е. при Q >> 1, I_L и I_C могут значительно превосходить I, откуда и происходило название резонанса токов. Энергетические соотношения при резонансе токов:

; ;;.

При идеальном резонансе токов максимум энергии магнитного поля катушки индуктивности равен максимуму энергии электрического поля конденсатора.

В произвольный момент времени:

; ;

; ;

Суммарный запас энергии , энергия от источника идет только на покрытие потерь в активном элементе; катушка и конденсатор обмениваются энергиями.

Векторная диаграмма при идеальном резонансе токов показана на рис. 3.33.

Для реальной катушки (q₁, L) идеального конденсатора (q₂, С), включенных параллельно с Рис. 3.33 реостатом q, векторная диаграмма имеет вид (рис. 3.34):

; ;

;

.

Условие идеального резонанса:

, (3.51)

здесь заменяется другим:

.

Рис. 3.34

Если при идеальном резонансе токов q≈0, то , аz → ∞. Значит,

I → 0. Это свойство используется в фильтрах при устройстве “пробок” для отдельных частот.