1.9. Смешанное соединение сопротивлений

Это комбинация последовательного и параллельного соединения сопротивлений. Рассмотрим способы расчета смешанного соединения:

1). Вычисление эквивалентного сопротивления.

2). Определение токов по формуле «разброса» Поливанова.

3). Определение токов методом подобия или пропорциональных величин.

1. Рис. 1.10

R_2,3=;R_Э=R₁+R_2,3;

I₁=;U_2,3 = I₁R_2,3 = U – I₁R₁;

Рис. 1.10

I₂=,I₃=,I₁ = I₁ + I₃  проверка.

2. Рис. 1.10

R=R₁+,

где R_i R_k – сумма попарных произведений из трех сопротивлений.

I=,	U=IR==,
I=,	В этих формулах в числителе берется «чужое сопротивление».
I=.

3. Метод применим только для линейных цепей, т.е. таких в которыхR, L, Состаются постоянными и не зависят от величины проходящего через них тока [3].

Для этих цепей при смешанном соединении ток любой ветви пропорционален входному напряжению I_k = a_k U, при этом а_к для каждой ветви имеет свое значение (см. формулы Поливанова).

Метод имеет смысл применять для смешанного соединения с большим количеством ветвей, если требуется определить сразу токи, не вычисляя R, например для следующей схемы (рис. 1.11):

Рис. 1.11

При расчете задаются произвольным током, проще всего 1 А, в ветви, наиболее удаленной от источника (I=1 A).

Затем, используя законы Ома и Кирхгофа, находят токи и напряжения на остальных участках, постепенно приближаясь к источнику. Наконец находят новое значение входного напряжения U, вычисляют коэффициент подобия К=и на него умножают все ранее вычисленные токи и напряжения.

2. Расчет сложных цепей

Сложной называется такая электрическая цепь, которая не может быть сведена к смешанному соединению сопротивлений. К сложным относятся также цепи, содержащие источники энергии в разных параллельных ветвях.

Примером сложной цепи может быть мостовая схема.

Существует несколько методов расчета сложных цепей, но все они основаны на законах Кирхгофа.

2.1. Непосредственное применение законов Кирхгофа

Пусть дана следующая цепь (рис. 2.1):

Рис. 2.1

Произвольно намечают стрелками направление токов в ветвях и круговыми стрелками направление обхода независимых контуров.

Число неизвестных токов будет равно числу ветвей. Вначале составляем уравнения по Iзакону Кирхгофа. Их число равно числу узлов без одного (независимые уравнения).

Остальные уравнения составляются по II закону Кирхгофа с соблюдением знаков (+) и () для ЭДС и токов в зависимости от направления обхода контура [4].

С учетом сказанного составляем систему уравнений для заданной схемы:

I₁  I₂ + I₃ = 0,

I₅–I₃–I₄=0,

I₁(R₀₁ + R₁) + I₂R₂ = E_1, (2.1)

I₄R₄ – I₂R₂ – I₃R₃ = 0,

I₅(R₀₂ + R₅) + I₄R₄ = E_2.

Решая эту систему, сразу находим токи в ветвях. Если ток получается с (), то его истинное направление противоположно выбранному.

Сложную систему уравнений надо решать с помощью определителей

I_k= ,

или иным математическим способом.

2.2 Метод контурных токов

Для сложных цепей, содержащих более 2-х узлов, метод контурных токов является наиболее простым и универсальным, ибо он значительно сокращает число уравнений по сравнению с непосредственным применением законов Кирхгофа. Впервые предложен Максвеллом.

Для примера рассчитаем сложную цепь предыдущего раздела.

Сущность метода заключается в том, что сложная цепь рассматривается как совокупность соприкасающихся ячеек или контуров (отличие от независимых контуров предыдущего метода).

Каждой ячейки приписывается некоторый контурный ток произвольного направления, а ток в общей ветви находится, как алгебраическая сумма контурных токов (рис. 2.2). При таком условии I-й закон Кирхгофа удовлетворяется автоматически и составлять по нему уравнение не надо (I_к = 0, превращается в тождество 0 = 0).

Однако, при составлении уравнений по II закону Кирхгофа нужно помнить одну особенность. Алгебраическая сумма ЭДС каждой ячейки равна алгебраической сумме произведений:

а) контурного тока данной ячейки на сумму сопротивлений всех ветвей этой ячейки;

б) контурных токов всех ячеек, смежных с данной, на соответствующие сопротивления общих ветвей. Правило знаков ЭДС и токов остается прежним, причем контур обходится в направлении собственного контурного тока.

I_a (R₀₁+R₁+R₂)I_bR₂=E_1, I_ста=I_a, I_ас=I_a–I_b,

I_b (R₂+R₃+R₄)–I_aR₂+I_cR₄=0, I_ав=I_b, I_бс=I_b+I_c, (2.1)

I_c (R₀₂+R₅+R₄)+I_bR₄=E_2. I_спб=I_c.

Токи во внешних ветвях цепи равны соответствующим контурным, в общих ветвях – их алгебраическая сумма [5]. Число ячеек всегда значительно меньше числа ветвей, отсюда число уравнений в системе меньше, чем при непосредственном применении законов Кирхгофа (3 вместо 5 в приведенном примере).

Сложную систему уравнений лучше решать с помощью определителей.