35. Определение расстояний, недоступных для непосредственного измерения.

Чтобы найти расстояние между 1-2 выбирают базис, который измеряют на месте, где это удобно делать и измеряют углы β1 и β2. Искомое расстояние D можно определить:

D/sinβ1=B1/sin(180-β1-β2);

D=B1*sinβ1/sin(β1+β2).

Для контроля измерений и вычислений выбирают второй базис и измеряют еще раз 2 угла в треугольнике и аналогичным образом вычисляют D. Допустимым расхождением считается относительная погрешность 1/1000

36. Понятие о точности измерений.

Измерение – процесс сравнения измеряемой величины с однородной ей величиной с единицей измерения.

Все измерения делятся на прямые и косвенные:

а) Прямые – когда результат получается непосредственно при сравнении измеряемой величины с единицей меры(измерение линий и углов).

б)косвенные.

Измерения делятся на необходимые и добавочные. Путем измерений невозможно получить абсолютно точные значения измеряемой величины, поэтому все измерения сопровождаются погрешностями. Погрешность характеризует точность измерений; это разность между измеренным и точным значением: Δ=l-a (Δ – погрешность; l – результат измерений; a – истинное точное значение).

Погрешность получают по правилу: из того, что имеется, вычитают то, что должно быть. Точное значение измеряемой величины можно получить, используя прибор более высокой точности. Например, точная сумма значений измеренных углов в плоском треугольнике 180^о, а сумма измеренных углов 179^о58,5᾽, тогда погрешность будет составлять -0^о01,5᾽. Эту погрешность называют угловой невязкой треугольника.

Но одно значение погрешности Δ, вычисленное по формуле, не характеризует точность измерений, потому что, повторяя измерения величины, будем получать различные значения величины l. Поэтому в качестве обобщенной характеристики точности измерений принимают среднюю квадратическую погрешность, вычисляемую по многократным измерениям l₁, l₂,…l_n, а следовательно, и по Δ1,Δ2,…,Δn, пользуясь формулой Гаусса m=

Погрешности Δ и m называют абсолютными и пользуются ими для оценки точности измерений, не зависимых от величины l. Погрешности измерений линий, зависимые от их длины, характеризуют относительными погрешностями, т.е. отношением абсолютной погрешности к результатам измерения: Δ/l – относительная погрешность измерения.

Иногда точность измерений характеризуют расхождением между результатами измерений одной и той же величины d= l1- l2 или относительным расхождением d/l. Для определения допустимости расхождений или невязок используют предельные погрешности, которые принимают как удвоенные или утроенные средние квадратические погрешности Δ_пред = 2m или Δ_пред = 2m.

37. Значащие цифры числа, правила действия с приближенными числами.

При геодезических измерениях и вычислениях приходится иметь дело преимущественно с приближенными числами. Например, результат измерения линии записан с округлением до двух десятичных знаков или до сотых долей метра – 128,23м. это число неточное, за последней цифрой следует бесконечно большое число цифр, которые отброшены при их округлении, потому что они не соответствуют точности измерения.

Для правильного действия с приближенными числами в них различают: десятичные знаки, значащие и верные цифры. Десятичными знаками называют все цифры после запятой, значащими – все цифры числа, кроме нулей справа и слева, если последние при округлении поставлены вместо других цифр. Например, число 4108,207 имеет 3десятичных знака и 7 значащих цифр. Число 0,0035 имеет 4 десятичных знака и 2 значащие цифры. Если говорят, что в населенном пункте 1500 жителей, то в этом числе 2 значащие цифры, т.к. нули поставлены вместо других цифр.

Верными называют цифры числа, заслуживающие доверия. Например, если результат измерения записан так: 128,23м, а измерение проводили с точностью до 1м, то в этом числе будут лишь 3 верные цифры, а последние не заслуживают доверия.В таком числе, как 180, выражающем сумму углов плоского треугольника, число верных значащих цифр бесконечно большое.

При вычислениях выдерживают такое число значащих цифр, десятичных знаков, которое обеспечивает нужную точность результатов и не загружает вычисления неверными или ненужными цифрами.

		1	2,	1	3	7	5	4
			0,	2	7	?	?	?
	2	8	7,	6	?	?	?	?
1	2	5	3,	8	5	2	?	?
1	5	5	3,	9	?	?	?	?

Сложение и вычитание приближенных чисел. Если числа содержат неодинаковое число десятичных знаков, то при их сложении и вычитании оставляют столько десятичных знаков, сколько их имеет приближенное число с наименьшим числом десятичных знаков плюс одна запасная цифра.

Например, при сложении чисел, имеющих верные значащие цифры: 12,13754+0,27+287,6+1253,852 число 287,6 имеет наименьшее число десятичных знаков, остальные число надо округлить: 12,14+0,27+287,6+1253,85=1553,9. Полученный результат содержит все верные значащие цифры.

Сумма или разность приближенных чисел имеет столько верных десятичных знаков, сколько их имеет число с наименьшим количеством десятичных знаков. Поэтому в слагаемых в сумме должно быть одинаковое число десятичных знаков.

				1	2	8	2	7,	5	3
							2,	1	3	?
				?	?	?	?	?	?	?
			3	8	4	8	2	5	9
		1	2	8	2	7	5	3
	2	5	6	5	5	0	6
2	7	3	?	?	?	?	?	?	?	?

Умножение и деление приближенных чисел. Если числа содержат неодинаковое число значащих цифр, то при умножении и делении их оставляют столько значащих цифр, сколько их содержит приближенное число с наименьшим количеством значащих цифр, плюс одна запасная значащая цифра. Например при умножении и делении чисел 12827,53 2,13, у которых все значащие цифры верные, число с наименьшим количеством значащих цифр будет 2,13. Поэтому перед умножением или делением другое число надо округлить до 12830. если этого не сделать, то число будет иметь большое количество неверных цифр. 12830*2,13=27300=2,73*10⁴, т.е. в полученном числе 3 верные значащие цифры.

Произведение и частное имеют столько верных значащих цифр, сколько их в числе с наименьшим количеством значащих цифр. В связи с этим в сомножителях и произведении должно быть одинаковое число значащих цифр.

Возведение в степень и извлечение корня. По аналогии с произведением при возведении числа в степень в полученном числе надо оставить столько значащих цифр, сколько их было в числе, возводимом в степень, т.е. 42,27²=1787. Если в результате извлечения корня требуется получить 4значащие цифры, то в подкоренном числе надо оставить такое же число значащих цифр, т.е. брать не =220,3, а =220,3.