2.1.3. Регулярные ошибки в установившемся режиме работы системы

Точность изучаемой системы можно оценить по величине ошибки в установившемся режиме работы системы для трех входных воздействий (по постоянной составляющей, скорости и ускорению). Применяется метод коэффициентов ошибок.

Раскрыв скобки в формуле (2.1) и произведя необходимые преобразования, получим выражение передаточной функции W(s) как отношение полиномовB(s) иC(s)

. (2.4)

Тогда передаточная функция ошибки по регулярному входному воздействию будет иметь вид

. (2.5)

Для рассматриваемого примера полиномы в (2.4) и (2.5) имеют вид:

(2.6)

Метод коэффициентов ошибок основан на использовании приближенного равенства (см. [4], стр. 23).

Применяя к обеим частям полученного равенства обратное преобразование Лапласа, получим выражение для закона изменения ошибки системы в установившемся режиме ее работы

Для вычисления коэффициентов ошибок формируется соотношение

Перемножив полиномы левой части и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях переменной s, получим систему уравнений для трех коэффициентов ошибок

Таким образом,

_(2.7)

Полученные коэффициенты ошибок позволяют определить значения ошибок в установившемся режиме работы системы для трех заданных входных воздействий. В рассматриваемом примере изучается система второго порядка астатизма. Поэтому, учитывая результаты (2.7) отлична от нуля только ошибка по ускорению входного воздействия.

а);

б)

в) ,

Итак, требование точностисистемы по ускорению входного воздействияне выполняется. Поэтому, как было показано ранее, логарифмическая амплитудно-частотная характеристика системыпересекает запретную зону по точности.

2.1.4. Анализ полученных результатов

Анализ полученных результатовпозволяет сделать следующие заключения:

1. В рассматриваемых условиях выполняется неравенство ω_ср < ω_кр(ω_ср= 3,200 с^-1,ω_кр=), следовательно, исходная система устойчива;

2. Запас устойчивостипо амплитуде (∆L(ω) = ∞)достаточный, а по фазе (∆ϕ(ω) = 27^◦)– несколькоменьше допустимого;

3. логарифмическая амплитудно-частотная характеристика пересекает запретную зону по точности, что свидетельствует оневыполнении технического условия точности по ускорениюрегулярного входного воздействия. Это положение подтверждается и результатом вычисления ошибки по ускорению;

4. наклонлогарифмической амплитудно-частотной характеристики ∆L(ω) в районе частоты среза ω_срравен - 40 дБ/дек, что указывает на колебательный характер переходного процесса рассматриваемой системы;

Итак, исходная система устойчива, ноне удовлетворяет прежде всего требованиям технического задания по точности и по запасу устойчивости по фазе. Для того, чтобы обеспечить выполнение требований технического задания предлагаетсяприменить последовательный корректирующий фильтр.

1. Применение последовательного корректирующего фильтра

Как уже отмечалось при рассмотрении примера 1, в рассматриваемой работе рекомендуется для коррекции системы применять однозвенный фильтр (1.13). Таким образом, когда структура фильтра задана зависимостью (1.13), задача выбора корректирующего фильтра сводится к определению трех параметровk_кор,_кор,T_кор. Этот процесс удобно разбить на два этапа:

Для удовлетворения требованиям точности необходимо увеличить коэффициент усиления kтак, чтобы логарифмическая амплитудно-частотная характеристика проходила выше запретной зоны по точности.

k_рез=k_ис k_кор, (2.1)

где k_рез– коэффициент усиления результирующей,k_ис– исходной системы;

k_кор – коэффициент усиления корректирующего фильтра.

Минимальное значение коэффициента усиления необходимо выбрать равным пяти k_кор= 5 (в этом случае ломанаяL=L(ω) «лежит» на границе запретной зоны).

Ниже будут рассмотрены два варианта коррекцииисходной системы:

На рис. 2.2 представлены графики ЛАХ для варианта 1 с применениемфильтра с опережением по фазес параметрами

_kкор,1 = 5,

На рис. 2.3 изображены графики ЛАХ для варианта 2 с применением фильтра с запаздыванием по фазе с параметрами

С применением программных продуктов PTSystem и PTSystem_New, разработанные на кафедре РТС, появляется возможность на экране дисплея иметь графики ЛАХ (для самопроверки),, переходной характеристикиh = h(t) и рассчитать значения показателей точности системы. Это позволяетуточнитьпредложенные варианты коррекциивыбрать из них наилучшиес той или иной точки зрения.

Графики переходных характеристик и АЧХ () системы в замкнутом состоянии для рассматриваемых вариантов исходных и результирующих систем представлены на рис. 2.4 – 2.7

.

Рис.2.7. Вариант 2. АЧХ

В таблице 2.1 приведены значения показателей качества исходной и двух вариантов результирующих систем.

Таблица 2.1

	ωср 1/c	ωкр 1/c	∆L дБ	∆ϕ	M	с2	σ%	tп с
Техническ. задание			14	30	1,5	2,5 10-7	30
Исходная система	3200	∞	∞	7	1,84	10-6	43	3,6 10-3
Система варианта 1	25000	∞	∞	63	1,01	210-7	5	1,310-4
Система варианта 2	1200	∞	∞	50	1,25	210-7	25	6,5 10-3

Параметры ω_ср, ω_кр, ∆L, ∆ϕ исходной системы получены на основе анализа логарифмических частотных характеристик, перерегулирование σ, показатель колебательностиMи время переходного процессаt_п– на основе анализа временных характеристик, показатель точности γ₂ рассчитан по формулам. Все показатели качества результирующих систем и ряд показателей исходной системы получены с использованием программного обеспечения. Для сравнения в первой строке рассматриваемой таблицы приведены данные технического задания.