6. Гармонические Колебания

В природе достаточно часто можно наблюдать процессы, которым свойственна некоторая повторяемость. Такие процессы называют колебаниями.

Если колебания повторяются через одинаковые интервалы времени, их называют периодическими колебаниями.

Например, подвешенный на нити и выведенный из положения равновесия груз в процессе движения будет многократно проходить через одни и те же точки. Поэтому его движение является коле-бательным. Время, за которое такой маятник будет совершать одно колебание, будет постоянным. Поэтому его колебания являются периодическими. Подобных примеров можно привести множество.

Если выведенная из положения равновесия и предоставленная самой себе система способна совершать колебания, то её называют колебательной системой.

Примером колебательной системы является упомянутый выше груз, подвешенный на нити. Колебательной системой явля-ется груз, подвешенный на пружине и множество других систем.

Но обратите внимание – не всякая система, которая может участвовать в колебаниях, является колебательной. Например, можно взять в руки небольшой шарик и перемещать его так, чтобы движение шарика являлось колебанием. Такой шарик может уча-ствовать в колебаниях, но он не является колеба-тельной системой. Если прекратить воздействие на шарик, его колебания прекратятся. А колебательной является такая система, которая способна совершать колебания после прекращения внешнего воздействия.

1. Гармонические колебания. Параметры гармонических колебаний

Гармоническими называют колебания, происходящие по закону синуса или косинуса,

,

где х – мгновенное значение колеблющейся величины; А - амплитуда гармонического колебания; это максимальное отклонение колеблющейся величины от среднего значения;  = = (t + _o) – фаза гармонического колебания; _o – начальная фаза гармонического колебания (_o – это значение фазы в начальный момент времени t = 0);  – циклическая частота гармонического колебания; поскольку из определения фазы видно, что , постольку физический смысл циклической частоты – скорость изменения фазы по времени*;t – текущее время.

Кроме названных для описания гармонических колебаний используются следующие параметры: Т – период гармонических колебаний; период – это время, за которое происходит одно коле-бание;  – частота гармонических колебаний; частота – это коли-чество колебаний, происходящих за единицу времени.

Параметры гармонических колебаний связаны между собой следующими соотношениями:

.

6.2. Формы представления гармонических колебаний

Различают следующие формы гармонических колебаний:

а) аналитическая, или тригонометрическая.

В аналитической форме колебание описывается следующим выражением:

.

Входящие в него величины рассмотрены в предыдущем разделе;

б)графическая.

В графической форме коле-бание пред-ставляется в виде графика за-висимости мгновенного значе-ния колеблющейся величиных от времени t.

______________________________

* Вспомните физический смысл производной.

На верхнем рисунке представлены два графика гармонических колебаний с одинаковыми частотами и амплитудами. Отлича-ются представленные колебания значением начальной фазы. Из рисунка видно, что увеличение начальной фазы вызывает смещение графика влево вдоль оси t. Поэтому можно сказать, что колебание с большей начальной фазой началось раньше, чем колебание с меньшим значением _о.

На нижнем рисунке представлены графики гармонических колебаний, у которых одина-ковы амплитуда и начальная фаза, но различны частоты. Из рисунка можно видеть, что за время одного полного коле-бания с частотой₂ успеет произойти лишь половина пол-ного колебания с частотой ₁. Следовательно, ₂ = 2₁;

в) векторная.

В ряде случаев представление в векторной форме позволяет получить решение задачи быстрее и проще, чем с помощью других форм. Рассмотрим этот метод.

Выберем некоторую осьх и построим под углом _о к оси х вектор, длина которого пропор-циональна амплитуде гармони-ческого колебания А.

Пусть этот вектор равномерно вращается против часовой стрел-ки с угловой скоростью, равной циклической частоте гармони-ческого колебания . В этом слу-чае угол между вектором А и осью х в любой момент времени будет равен t + _о*.

Проекция вектора на ось х будет равна . Но это выражение описывает гармоническое колебание. Следо-вательно, проекция вектораА, вращающегося против часовой стрелки с угловой скоростью , равной циклической частоте представляемого колебания, и будет гармоническим колебанием

______________________________

* В момент t = 0 угол равнялся _о

. Начальная фаза представляемого гармони-ческого колебания равна углу _о между вектором А в момент времени t = 0 и осью х, лежащей в плоскости вращения вектора.