7.3. Характеристики затухающих колебаний

Из решения дифференциального уравнения видно, что амплитуда затухающих колебаний уменьшается с течением времени по закону . Чем больше коэффициент, тем быстрее уменьшается амплитуда колебаний. Поэтому его называют коэффициентом затухания.

Поскольку , постольку колебания затухают тем быстрее, чем больше коэффициент тренияr и чем меньше масса колеблющегося груза m.

Этот вывод достаточно легко понять – чем больше трение, которое препятствует всякому движению, тем быстрее пре-кратится колебательное движение реального осциллятора. Умень-шение массы означает, что уменьшается запас кинетической энергии осциллятора и поэтому при равном трении энергия будет быстрее израсходована на его преодоление.

Если обозначить символом  время, за которое амплитуда колебаний уменьшится в е раз, то , т. е. = 1 и .

Таким образом,  есть величина, обратная времени, за которое амплитуда уменьшается в е раз.

Время  называют временем релаксации

В качестве характеристики затухания колебаний используется также логарифмический декремент затухания

,

где A(t) – амплитуда колебания в некоторый моментt; A(t+ T) – амплитуда колебания через один период затухающего колебания.

Из последнего соотношения следует, что  = T.

Целесообразность использования такой характеристики видна из следующего.

Поскольку  = T, а  = 1/, постольку . НоТ – это время, за которое совершается одно колебание, а  – время, за которое произойдёт, в общем случае, несколько колебаний*.

Тогда

,

где N_е – число колебаний, в ходе которых амплитуда уменьшится в е раз.

Таким образом,  и  являются характеристиками затухания, дополняющими друг друга:  показывает, как быстро затухают колебания, но при этом не содержит информации о количестве колебаний;  же показывает, за сколько колебаний амплитуда уменьшится в е раз, но ничего не говорит о времени, за которое произойдёт это уменьшение.

Из решения дифференциального уравнения также следует, что частота затухающих колебаний  меньше частоты колебаний идеального маятника _о: .

Циклические частоты  и _о соотносятся следующим образом. Допустим, маятник совершает затухающие колебания с частотой ; если избавиться от трения, он будет совершать гармонические колебания с частотой _о.

Поскольку , гдеr – коэффициент трения, с ростом трения частота затухающих колебаний уменьшается.

Колебания, совершаемые пружинным маятником с трением, не являются гармоническими.

____________________________

* В ходе этих колебаний амплитуда как раз и уменьшится в е раз.

Они также не являются и периодическими. Однако в физике принято использовать так называемый период затухающих колебаний ; при этом подТ подразумевают время, за которое совершается одно колебание.

7.4. Критическое затухание

На качественной основе в разд. 7 было показано, что при достаточно большом трении колебания станут невозможны. Выведенная из положения равновесия колебательная система просто вернётся в него.

Такой режим в реальной колебательной системе наступит, если  возрастёт так, что выполнится условие , истанет мнимой.

В этом случае решение диффе-ренциального уравнения принимает такой вид:

,

т. е. х от времени зависит экс-поненциально, колебаний нет. Система, которую вывели из положения равновесия, действительно постепенно возвращается в него (см. рисунок).

Затухание, при котором , называюткритическим. При таком (и большем) затухании колебания в системе невозможны.

127