4.7. Граничные условия для векторов в и н

Рассмотрим магнитное поле вблизи границы раздела двух сред с различной магнитной проницаемостью ₁ и ₂.

Допустим, что магнитное поле не перпендикулярно границе раздела двух сред.

Разложим векторы В и Н на две компоненты, из которых одна параллельна границе раздела двух сред, а вторая – перпендикулярна. Перпендикулярную компоненту назовём нормальной, а параллельную – тангенциальной.

Начнём с рассмотрения нормальной компоненты вектора магнитной индукции В_n. Воспользуемся для этого теоремой Гаусса для магнитного поля (см. разд. 8,8).

Выделим вблизи границы раздела двух сред цилиндрический объём бесконечно малой высоты с площадью основанияS. Верхнее основание расположено в среде с магнитной проницаем-остью ₁, а нижнее – в среде с ₂.

Согласно теореме Гаусса, маг-нитный поток через замкнутую поверх-ность равен нулю.

В данном случае полный маг-нитный поток через выбранную поверхность равен сумме потоков В_n через верхнее и нижнее основания и через боковую поверхность цилиндра.

Поскольку высота боковой поверхности бесконечно мала, магнитный поток через неё бесконечно мал. Следовательно, полный магнитный поток равен сумме потоков через верхнее и нижнее основания.

Полный магнитный поток нормальной компоненты вектора магнитной индукции равен нулю, следовательно, потоки через верхнее и нижнее основания равны между собой

B_n1S = B_n2S.

Это означает, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела двух сред не изменяется

B_n1 = B_n2.

По определению напряжённости В = ₀Н, поэтому

₁Н_n1 = ₂Н_n2

и

.

Таким образом, нормальная компонента вектора напряжён-ности магнитного поля на границе раздела двух сред изменяется. Значение нормальной составляющей напряжённости магнитного поля в средах с разной магнитной проницаемостью различно.

Перейдём к рассмотрению тангенциальной компоненты векторовВ и Н. Воспользуемся для этого теоремой о циркуляции вектора напряжённости магнитного поля (см. разд. 4.2.).

Выделим вблизи границы раздела двух сред замкнутый контур 1-2-3-4 прямоугольной формы (см. рисунок).

Длина горизонтальной стороны прямоугольника равна l, а высота прямоугольника бесконечно мала.

Если на границе раздела двух сред нет тока, то , т. е. циркуляция вектора напряжённости магнитного поля на границе раздела двух сред равна нулю.

Компоненты циркуляции по сторонам прямоугольника, перпендикулярным границе разделы пренебрежимо малы, так как высота прямоугольника бесконечно мала.

Компоненты циркуляции по параллельным сторонам соответственно равны и.

Если длина участков 1-2 и 3-4 настолько мала, что напряжённости можно считать постоянными, то Н₁ и Н₂ можно вынести за знак интеграла. Тогда в результате интегрирования получим векторы l₁₂ и l₃₄, направление которых определяется направлением обхода контура.

Таким образом, циркуляция вектора напряжённости на границе раздела двух сред оказывается равной H₁^. l₁₂ + H₂^. l₃₄ = 0.

Учитывая, что скалярное произведение двух векторов равно произведению их модулей на косинус угла между ними, получаем

Н_1l – H_2l = 0

(минус обусловлен тем, что векторы l₁₂ и l₃₄ противоположны по направлению).

Следовательно, тангенциальная составляющая вектора напряжённости магнитного поля в средах с разной магнитной проницаемостью одинакова:

Н_1 = H_2.

Тангенциальная составляющая вектора магнитной индукции при переходе из одной среды в другую изменяется

и

.

Полученные результаты означают, что силовые линии маг-нитного поля на границе раздела двух магнетиков преломляются (т. е. изменяют свой наклон)

.

На рисунке показано, что в среде с большей магнитной проницаемостью (₁  ₂) силовые линии отклоняются от нор-мали к границе раздела двух сред (это значит, что их густота уве-личивается).

Из полученных результатов также следует, что если в образ-це магнетика сделать узкую щель, параллельную силовым линиям магнитного поля в ве-ществе, то напряжённость маг-нитного поля в щели будет равна напряжённости магнитного поля внутри магнетика. Это вытекает из того, что тангенциальная составляющая вектора напряжён-ности магнитного поля на границе раздела двух сред не изменяется.

Поскольку нормальная составляющая вектора магнитной индукции не изменяется на границе раздела, постольку значение индукции магнитного поля внутри магнетика и в узкой щели, перпендикулярной направлению магнитного поля, одинакова.

Эти особенности в поведении тангенциальной составляющей напряжённости и нормальной составляющей индукции магнит-ного поля лежат в основе методов практических измерений напряжённости и индукции магнитного поля внутри магнетиков.