Министерство образования Российской Федерации

Новосибирский государственный технический университет

В.В. ДАВЫДКОВ

КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ИДО

Часть III

Волновая оптика

Квантовая механика

Утверждено

Редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

Новосибирск

2003

УДК 53(075.8)

Д 138

Рецензент: кандидат физико-математических наук, доцент

А.А.Харьков

Работа подготовлена на кафедре общей физики

Давыдков В.В.

Д 138 Курс общей физики для студентов ИДО. – Учеб. посо-

бие. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. – Ч. 3: Волновая оптика. Квантовая механика. – 92 с.

Учебное пособие представляет собой курс лекций по общей физике и предназначено для студентов института дистанционного образования, изучающих вторую часть общего курса физики. В книге изложен теоретический материал по интерференции, дифракции и поляризации волн, квантовой механике. Учебное пособие соответствует программе изучения курса общей физики, рассчитанного на три учебных семестра.

УДК 53(075.8)

 Новосибирский государственный

технический университет, 2003

 В.В. Давыдков, 2003

1. Волновая оптика

1.2. Интерференция волн

В середине XVII в. итальянский ученый Франческо Мария Гримальди описал следующее явление.

Если пропустить свет через два близко расположенных отверстия небольшого диаметра, то на экране, там, где перекрываются световые пучки, прошедшие сквозь разные отверстия, возникают чередующиеся яркие и темные полосы.

Опыт Гримальди показал, что наложение световых волн от разных источников может вызвать не только усиление интенсивности света (что кажется естественным), но и ее ослабление!

Другими словами, в опыте Гримальди наложение световых волн привело к перераспределению энергии, переносимой светом. Энергия концентрируется в некоторых точках экрана (эти точки образуют яркие полосы). В другие точки свет практически не попадает (эти точки образуют темные полосы).

Открытое Гримальди явление было названо интерференцией.

Таким образом, интерференцией называют перераспределение энергии волн, вызванное их наложением.

Часто в качестве характеристики волн используется интенсивность. Это среднее по времени количество энергии, переносимое волной через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны. Интенсивность, как и энергия волны, прямо пропорциональна квадрату амплитуды волны. Следовательно, в результате интерференции интенсивность волн, идущих в разных направлениях, будет различной.

1.1.1. Интерференция волн от двух синфазных источников

Пусть имеются два точечных источника волн одинаковой частоты, колеблющихся синфазно (т.е. начальные фазы колебаний источников одинаковы).

Пусть направления колебаний источников совпадают.

Пусть эти волны накладываются друг на друга.

В области перекрытия волн в каждой точке будут возбуждены два колебания (одно возбуждено волной, идущей от первого источника, а второе – волной от второго источника).

Из уравнения бегущей волны ^* видно, что фаза колебания, возбужденного волной в какой-либо точке, зависит от расстояния между источником волны и интересующей нас точкой (x).

Это значит, что фазы колебаний ₁ и ₂, возбуждаемых источниками в одной и той же точке, в общем случае различны.

Соответственно и разность фаз колебаний  = ₁ – ₂, возбуждаемых источниками, в разных точках области перекрытия волн будет различной.

Известно, что результатом сложения одинаково направленных колебаний одной частоты является колебание, амплитуда которого зависит от разности фаз складываемых колебаний (см. раздел 6.3.1 второй части курса):

,

где А₁, А₂ – амплитуды складываемых колебаний, ₀₁, ₀₂ – начальные фазы складываемых колебаний.

Если амплитуды колебаний источников волн одинаковы, то в точках, расстояние до которых много больше расстояния между источниками, А₁ = А₂, и результирующая амплитуда

.

Извлекая корень, получаем

.

Далее для расчета амплитуды результирующего колебания будем использовать именно это выражение.

Из выражения для расчета А_ следует, что при    2, 4…2m (m = 0, 1, 2…) результирующая амплитуда будет максимальной:

А_ = 2А.

При , 3, 5... (2m + 1)результирующая амплитуда будет минимальной:

А_ = 0.

При прочих значениях разности фаз результирующая амплитуда будет меньше максимальной, но больше минимальной. Конкретное значение амплитуды легко рассчитывается по приведенной выше формуле.

Вернемся к условиям возникновения интерференционных максимумов и минимумов.

Как отмечено выше, фазы ₁ и ₂ есть фазы складывающихся волн в интересующей нас точке. Следовательно, разность фаз  = ₁ – ₂ = t – kx₁ – t + kx₂ = k(x₂ – x₁) = kx. Здесь  – циклическая частота складывающихся волн, k – волновое число складывающихся волн, х₁, х₂ – пути, проходимые каждой из волн от своего источника до точки наблюдения.

Величина называетсягеометрической разностью хода.

Как вы видели ранее, суммарная амплитуда максимальна при    2, 4, 2m... Такая разность фаз складываемых колебаний возникает, если геометрическая разность хода^*

,

где m = 0, 1, 2....

Аналогично можно показать, что амплитуда будет минимальной при

,

где = 0, 1, 2...

Другими словами, интерференционные максимумы возникают в тех точках пространства, для которых геометрическая разность хода кратна длине волны.

Если же на геометрической разности хода до точки укладывается нечетное число полуволн, то в такой точке амплитуда будет минимальной.

Все приведенные выше рассуждения относятся к ситуации, в которой складываемые волны распространялись в одной среде.

Если складываемые волны приходят в интересующую нас точку через разные среды, то проявляется еще один фактор, влияющий на разность фаз складываемых колебаний.

Дело в том, что скорость распространения волн в разных средах может быть различной даже для волн одной частоты. В этом случае^*

(здесь k₁ – волновое число волны, пришедшей в точку через первую среду;. k₂ – волновое число волны, пришедшей эту же точку через вторую среду; v₁ – скорость волны в первой среде; v₂ – скорость волны во второй среде).

Если речь идет о электромагнитных волнах, то последнее выражение можно привести к более удобному виду. Для этого умножим и разделим правую часть последнего уравнения на скорость света в вакууме:

,

где n₁, n₂ – показатели преломления первой и второй сред соответственно.

Величина nx называется оптической длиной пути, а разность оптических длин пути  = n₂x₂ – n₁x₁ называют оптической разностью хода.

Величинаесть волновое число световой волны в вакууме (так какс – скорость света в вакууме).

Волновое число для световой волны в вакууме можно записать и как , где_о – длина электромагнитной волны в вакууме.

Использование оптической разности хода позволяет сформулировать условия возникновения интерференционных максимумов и минимумов следующим образом:

– интерференционные максимумы возникает в тех точках, для которых оптическая разность хода кратна целому числу длин волн в вакууме

,

где m = 0, 1, 2...;

– интерференционные минимумы возникают в тех точках, для которых оптическая разность хода кратна нечетному числу полуволн в вакууме

,

где m = 0, 1, 2...

Полученные условия интерференционных минимумов и максимумов не содержат информации о координатах точек, в которых будут находиться минимумы и максимумы.

Найдем координаты этих точек на плоскости, расположенной на расстоянии lот источников.

Пусть источники волн расположены на расстоянии d друг от друга.

Выберем произвольную точку на выбранной плоскости.

Пусть она расположена на расстоянииr от оси, проходящей через середину расстояния между источниками (см. рисунок).

Расстояния от источников до точки обозначим соответственно x₁ и x₂.

Колебания, возбужденные в этой точке источниками, будут иметь разность фаз

.

Как уже отмечалось, амплитуда результирующего колебания будет максимальной там, где    2, 4, 6.., и минимальной там, где   , 3, 5, 7...

Разность хода до этих точек соответственно равна

.

Из рисунка видно, что

,

.

Тогда

.

С другой стороны,

.

Вблизи от оси системы , следовательно,.

Отсюда легко получить координаты точек, в которых будут возникать максимумы и минимумы:

;



 .

Условия возникновения интерференционных максимумов и минимумов справедливы для волн любой природы.

Так, если имеются несколько синфазных источников звуковых волн, то громкость звука (т.е. амплитуда звуковых колебаний) в разных точках области перекрытия звука будет различной.

Если в какой-либо области пространства накладываются синфазные световые волны, то яркость света в разных точках области перекрытия также будет различной.

Следует отметить, что условие синфазности источников волн не является обязательным. Разность фаз колебаний источников может иметь любое постоянное значение. При других значениях разности фаз координаты максимумов и минимумов будут отличаться от полученных выше, но энергия складывающихся волн все равно будет перераспределяться, т.е. интерференция сохранится.