2.7. Волновая функция и ее физический смысл
В соответствии с гипотезой де Бройля, каждый материальный объект имеет волновые свойства и, следовательно, его можно описать волновой функцией вида cos (t – kx).
Циклическая частота и волновое число k в этом уравнении связаны с энергией и импульсом материальной частицы и могут быть найдены с помощью формул де Бройля.
Но каков смысл и ? Какова их природа? Это мгновенное значение и амплитуда чего?
Де Бройль на эти вопросы не дал определенного ответа.
Ученые пытались давать различные объяснения природы волн де Бройля. Сейчас общепринятой является концепция, предложенная немецким физиком Максом Борном. В соответствии с ней физическим смыслом обладает не волновая функция , а квадрат ее модуля 2. Смысл 2 в том, что квадрат модуля волновой функции определяет вероятность dp нахождения частицы в некотором элементарном объеме dV:
dp = 2dV.
Вероятность нахождения частицы в некотором конечном объеме V рассчитывается следующим образом:
Если
же V
– объем всего пространства, в котором
находится рассматриваемая частица, то
.
Таким образом, квадрат модуля волновой функции представляет собой плотность вероятности нахождения частицы в какой-то точке пространства.
Знание волновой функции не позволяет нам точно определить положение микрочастицы и траекторию ее движения. Можно лишь определить вероятность нахождения частицы в интересующей нас точке пространства.
Это означает, что если волновые свойства частиц проявляют себя, то точное решение даже, казалось бы, простой задачи о расчете траектории движения частицы, невозможно.
2.8. Свойства волн де Бройля
Длина волны, свойственной микрочастице, равна = h/mv = h/p.
Импульс частицы p = h/ = hk/2, или, в векторной форме, p = hk/2, где k – волновой вектор.
Так может быть описана любая частица.
Любая волна характеризуется, в частности, фазовой v и групповой u скоростями. Следовательно, и любая частица должна иметь эти характеристики. Найдем их для некоторой частицы.
Пусть некоторая частица массой m движется в свободном пространстве со скоростью v.
По определению фазовая скорость равна отношению циклической частоты волны к ее волновому числу: v = /k.
Если умножить и разделить последнее выражение на постоянную Планка, то выражение для расчета фазовой скорости принимает иной вид:
v = ħ/ħk = /p
(здесь учтено, что полная энергия частицы равна произведению постоянной Планка на циклическую частоту частицы, а ее импульс – произведению волнового числа на постоянную Планка).
С другой стороны, в соответствии со специальной теорией относительности, полная энергия частицы равна произведению ее массы на квадрат скорости света: = mc2.
В свою очередь импульс частицы равен произведению ее массы на скорость частицы: р = mv.
Следовательно, фазовая скорость частицы равна
v = /p = mc2/mv = c2/v.
Поскольку скорость движения частиц всегда меньше скорости света в вакууме, постольку фазовая скорость волны де Бройля больше скорости света в вакууме.
Из формулы де Бройля для расчета длины волны частицы легко получить следующее выражение для скорости частицы: v =h/m. Подставляя его в формулу для расчета фазовой скорости, получаем
v = c2m/h.
Из последнего выражения видно, что фазовая скорость v прямо пропорциональна длине волны де Бройля . Следовательно, изменение скорости движения частицы вызывает изменение ее фазовой скорости.
Групповая скорость частицы по определению равна u = d/dk.
Умножив и разделив правую часть равенства на постоянную Планка, получаем
и = d(ħ)/d(ħk) = d/dp.
Из теории относительности известно, что полная энергия частицы равна
,
где mо – масса покоя частицы.
Тогда
Это означает, что групповая скорость частицы равна скорости движения частицы.