2.16. Частица в бесконечно глубокой двумерной потенциальной яме. Вырождение энергетических уровней

Рассмотрим несколько более сложную по сравнению с предыдущей ситуацию. Пусть яма двумерна (0 < x < L_x, 0 < y < L_y).

Волновую функция частицы в такой яме можно представить в виде произведения волновых функций частицы в одномерных ямах:

(x,y) = (x)(y),

где (x) и (y) – волновые функции частицы в одномерных ямах.

Подставляя выражения для волновых функций в одномерных ямах, получаем

где n_x – квантовое число, определяющее волновую функцию вдоль оси х; n_y – квантовое число, определяющее волновую функцию вдоль оси y.

Таким образом, решение уравнения Шредингера для такой ямы представляет собой двумерную стоячую волну. На краях ямы волновая функция обращается в ноль. Внутри же ямы существуют максимумы и минимумы волновой функции.

Энергия частицы в двумерной яме будет равна

.

Из этого выражения видно, что энергия зависит от квантовых чисел n_x и n_y.

Если L_x=L_y=L, то

Из этого выражения видно, что одно и то же значение энергии может соответствовать разным состояниям, состояниям с разными n_x и n_y, но с одним значением их суммы.

Разные квантовые состояния, имеющие одно значение энергии, называют вырожденными.

Обратите внимание: вырождение уровней возникает в том случае, если двумерная яма квадратная.

Нетрудно догадаться, что примерно то же мы получим для трехмерной ямы. Если частица находится в трехмерной яме, ее состояние определяется тремя квантовыми числами n_x, n_y, n_z. Если же L_x = L_y = L_z = L, то возможно вырождение энергетических уровней.

Подводя итоги, отметим следующее.

Все квантовые системы обладают общими свойствами:

0. Если движение частицы в пространстве ограничено какими-либо потенциальными барьерами, то количество барьеров равно количеству квантовых чисел, описывающих состояние частицы (например, для трехмерной потенциальной ямы необходимы три квантовых числа).

1. Если квантовая система симметрична (точнее, если симметричны потенциальные барьеры, ограничивающие движение квантовых частиц), то система может иметь вырожденные энергетические уровни.

2.17. Квантовый гармонический осциллятор

В классической физике широко распространено понятие гармонический осциллятор.

Гармонический осциллятор используется для описания поведения множества систем, где возможны гармонические колебания.

Характерная особенность гармонического осциллятора – движение материальной точки под воздействием квазиупругой силы F = -kx.

Потенциальная энергия частицы в такой системе

Поскольку зависимость потенциальной энергии осциллятора от координаты квадратичная, можно сказать, что гармонический осциллятор – это частица в параболической потенциальной яме.

Если волновые свойства колеблющейся частицы заметны, то гармонический осциллятор является квантовым.

Особенности поведения квантового гармонического осциллятора, т.е. квантовой частицы в параболической потенциальной яме, можно узнать, решив уравнение Шрёдингера для этой системы:

Общий вид решения довольно сложен. Поэтому решение рассматриваться не будет. Рассмотрим лишь выводы, сделанные на основе анализа решения.

Квантовому гармоническому осциллятору разрешены лишь значения энергии, отвечающие уравнению

где n = 0, 1, 2...

Таким образом, энергия квантового гармонического осциллятора квантуется.

Минимальная возможная энергия квантового гармонического осциллятора не равна нулю (Е_min = h₀/2), т.е. квантовый гармонический осциллятор не может покоится. Он всегда должен двигаться.

Более тщательный анализ может выявить еще одно интересное свойство квантового гармонического осциллятора – оказывается, квантовый гармонический осциллятор не может менять свою энергию произвольно. Ему разрешен лишь переход на один из соседних уровней энергии, т.е.n может измениться только на единицу: n = 1. Другими словами, энергия квантового гармонического осциллятора может изменяться только порциями, равными h₀.

Следует отметить важную особенность волновой функции, описывающей квантовый гармонический осциллятор.

Эта особенность заключается в том, что волновая функция за пределами ямы отлична от нуля. Другими словами, квантовый гармонический осциллятор может оказаться за стенками потенциальной ямы, чего классический осциллятор не может.

На рисунке в качестве примера показан график квадрата модуля волновой функции квантовой частицы от координаты (точки х_о – координаты краев ямы; классический осциллятор за этими точками не может оказаться никогда).

Следует отметить, что примеры, рассмотренные в трех последних разделах, абстрактны. В реальном мире такие ситуации не встречаются.

Но анализ этих частных примеров позволил выявить некоторые особенности, присущие реальным квантовым системам. Поэтому анализ этих примеров следует расценивать как первый шаг в направлении к анализу реальных ситуаций (они будут рассмотрены в следующей части).