4. Гармонический осциллятор

Осциллятор* – это любая система, которая может совершать колебания после того, как её вывели из положения равновесия. Если колебательная система совершает гармонические колебания, то она представляет собой гармо-нический осциллятор.

Поведение всех гармонических осцилляторов описывается дифференциальным уравнением *.

Это уравнение принято называть уравнением гармони-ческого осциллятора.

Решение такого дифференциального уравнения имеет вид . Аргументх дифференциального уравнения совершает гармонические колебания.

Взяв первую и вторую производные по времени от х, получим, что и они совершают гармонические колебания ,.

Гармонический осциллятор – это абстрактная модель, воспроизводящая реальные колебательные системы, в которых могут происходить гармонические колебания.

Рассмотрим некоторые из них.

________________________________

* Oscillo (лат.) – качаться.

6.4.1. Пружинный маятник

Пружинный маятник – это груз массой m, подвешенный на абсолютно упругой пружине, коэффициент упругости которой k.

Со стороны пружины на маятник действует упругая сила F =-kx (здесь х – смещение груза от положения равновесия; если начало координат совместить с положением равновесия груза, то х – координата груза).

На основании второго закона Ньютона и закона Гука

или

.

Введём обозначение .

Теперь уравнение примет вид

.

Но это уравнение гармонического осциллятора. Следова-тельно, пружинный маятник является гармоническим осцил-лятором, и если пружина идеальна, отсутствует трение и нет других потерь энергии, то пружинный маятник, выведенный из положения равновесия, совершает гармонические колебания.

Величина равна цикли-ческой частоте пружинного маятника. Из этого выражения видно, что частота колебаний маятника растёт с увеличением упругости пружины и умень-шением массы груза, подвешенного к ней.

Величина– этоскорость колеблющегося груза, а – егоускорение в данный момент времени.

Отсюда видно, что для пружинного маятника, совершающе-го гармонические колебания, координата груза, его скорость и ускорение изменяются по гармо-ническому закону, т. е. соверша-ют гармонические колебания.

Из уравнений также видно, что начальные фазы колебаний сме-щения, скорости и ускорения гру-за различны. Это хорошо видно и на графиках (см. рисунок).

Обратите внимание: в тот мо-мент, когда смещение от положе-ния равновесия максимально, ско-рость груза равна нулю, а уско-рение максимально по величине и направлено против смещения (так как проекция смещения положи-тельна, а ускорения – отрица-тельна).

Период колебаний пружинного маятника .

6.4.2. Математический маятник

Рассмотрим материальную точку массойm, закреплённую на невесомой нерастяжимой нити длиной l.

Отклоним маятник от положения равно-весия на малый угол .

Разложим силу тяжести mg, действующую на груз, на параллельную и перпендикулярную нити составляющие.

Составляющая, параллельная нити, ком-пенсируется силой натяжения нити Т, поэтому они не влияют на движение маятника. Следо-вательно, движение маятника определяется составляющей F_x, которая равна F_x = -mgsin (минус в правой части обусловлен тем, что составляющая F_x всегда направлена против отклонения маятника от положения равновесия).

При малых углах отклонения кривизной траектории груза можно пренебречь, поэтому sin =  = , гдех – смещение груза от положения равновесия (здесь учтено, что при малых углах sin = ). Поэтому .

Введём обозначение . ТогдаF_x = -kx. Это выражение похоже на закон Гука, определяющий величину силы, воз-никающей при упругой деформации тел. Следовательно составляющая F_x подобна упругой силе. Но, поскольку упругие деформации в рассматриваемой системе по условию отсутст-вуют, эту составляющую называют квазиупругой силой.

В соответствии со вторым законом Ньютона

;

;

.

Вводя обозначение , получаем

.

Таким образом, движение груза, закреплённого на нити, описывается дифференциальным уравнением гармонического осциллятора. Следовательно, математический маятник при малых углах отклонения совершает гармонические колебания. Они описываются уравнениями:

.

Период колебаний математического маятника .

Период Т увеличивается с увеличением длины маятника и уменьшением ускорения свободного падения (кстати, на этом основаны практически применяющиеся способы измерения ускорения свободного падения).

Обратите внимание на то, что в выражение для расчета периода колебаний математического маятника не входит m. Следовательно, период колебаний математического маятника не зависит от массы груза.