![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1)Числовые множества. Структура множества действительных чисел. Свойства множества действительных чисел.
- •2)Числовые подмножества. Числовые промежутки. Окрестность точки
- •3) Ограниченные числовые множества, точные грани множеств.
- •4)Определение функции, основные свойства функции.
- •5)Обратные функции, основные свойства функции.
- •6)Определение числовой последовательности и ее предела.
- •7)Теорема о единственности предела числовой последовательности.
- •8)Теорема об ограниченности сходящейся числовой последовательности.
- •9)Арифметические действия над числовыми последовательностями
- •10)Теоремы о предельном переходе в неравенствах
- •11)Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Связь между ними. Свойства бесконечно малых последовательностей.
- •12)Монотонные последовательности. Теоремы о пределах монотонных последовательностей.
- •13)Доказать , что последовательностьимеет предел.
- •14)Доказать, что
- •15)Подпоследовательности и частичные пределы. Теоремаы о подпоследовательностях.
- •16) Определение придела функции по Коши и по Гейне. Теорема об эквивалентности двух определений придела.
- •17)Односторонние пределы. Необходимое и достаточное условие существования предела функции.
- •18) Первый замечательный предел следствия из него.
- •19)Второй замечательный предел и следствия из него.
- •20)Сравнение бесконечно малых величин.
- •21)Определение порядка б.М. И выделение главной части б.М.
- •22)Вывести таблицу эквивалентных б.М.
- •23)Сравнение б.Б величин .
- •25)Непрерывность функции в точке. Необходимое и достаточное условие непрерывности в точке.
- •26) Классификация точек разрыва.
- •27)Непрерывность функции на множестве. Непрерывность элементарных функций.
- •28)Непрерывность сложной и обратной функции.
- •29) Первая и вторая теоремы Коши.
- •30) Первая и вторая теоремы Вейерштрасса.
- •31)Определение производной. Геометрический и физический смысл.
- •32)Односторонние производные. Необходимое и достаточное условие существования производной.
- •33)Правила вычисления производных от суммы , произведения и частного.
- •35)Производная обратной функции.
- •36) Производная функции заданной параметрически.
- •37)Производная неявно заданной функции.
- •39) Связь между непрерывностью и дифференцируемостью ф-и.
- •40) Определение дифференциала ф-и. Геометрический смысл дифференциала. Правила вычисления дифференциала.
- •43)Повторное дифференцирование в дифференциалах. Нарушение инвариантности формы высших дифференциалов.
- •44) Формула Тейлора для многочлена.
- •45)Формула Тейлора для произвольной ф-и.
- •46)Стандартные разложения. Определение числа e с точностью до 0,001.
- •47) Достаточное усл-е монотонности ф-и.
- •49) Достаточные условия экстремумафункции в точке
- •50) Достаточные условия выпуклости (вогнутости) ф-и. Определение выпуклой и вогнутой ф-и.
- •51) Точки перегиба. Достаточное условие точки перегиба.
- •52) Определение неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.
- •53)Вывести таблицу интегралов из определения неопределенного интеграла .
- •54) Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •55)Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
- •56. Понятие о рациональных и дробно-рациональных функциях. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей.
- •57) Интегрирование простейших дробей.
- •58. Вывод рекуррентной формулы.
- •60. Интегрирование дифференциального бинома. Подстановки Чебышева.
- •61. Подстановки Эйлера.
- •62. Интегрирование тригонометрических функций.
- •63. Определение интеграла Римана. Функции, интегрируемые по Риману.
- •64. Свойства интеграла Римана, выражаемые равенствами.
- •65. Свойства интеграла Римана, выражаемые равенствами.
- •66. Основная теорема интегрального исчисления.
- •67. Замена переменной в определенном интеграле.
- •68) Интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •69) Вычисление площадей плоских фигур в декартовых координатах.
- •70) Площадь плоской фигуры в параметрическом виде.
- •71) Площадь плоской фигуры в полярных координатах.
- •72. Вычисление длины дуги в декартовых координатах.
- •73. Вычисление длины дуги в параметрическом виде.
- •74. Вычисление длины дуги в полярных координатах.
- •75) Понятия о двух типах несобственных интегралов
17)Односторонние пределы. Необходимое и достаточное условие существования предела функции.
. Пусть на мн-ве Е задана ф-я y=f(x) и x=a-предельная точка мн-ва Е
Опред.1:
число А назыв. правосторонним пределом
ф-и а(ч)(пределом ф-и справа) в точке а,
если (ε>0)(
Ǝƃ(ε)>0)(
xϵE,
a<x<a+ƃ):
|f(x)-A|<ε
и
обозначается A=f(a+0)=
=
.
Опред.2:число
А называется левосторонним пределом
ф-и а(ч)(пределом ф-и слева) в точке а,
если (ε>0)(
Ǝƃ(ε)>0)(
xϵE,
a-ƃ
<x<a):
|f(x)-A|<ε
и обозначается A=f(a-0)=
=
.
Необходимое и достаточное условие существования предела ф-и.
Для того, чтобы ф-я имела своим пределом число А при стремлении х к а, необх. и достат., чтобы существовали односторонние пределы в т. а и они были равны между собой
Ǝ f(a-0), f(a+0), f(a-0)=f(a+0)=A
Док-во:
1) необх.
Пусть
,т.е.
выполнено
опред.1
(
ε>0)(
Ǝƃ(ε)>0)(
xϵE,0<|x-a|<ƃ):
|f(x)-A|<ε.
Здесь
0<|x-a|<ƃ => a-ƃ<x<a+ƃ
x≠a
т.е.
определение
(1) выполнено
при
a-ƃ<x<a и
a<x<a+ƃ =>Ǝ=Aи
Ǝ
=A
=> f(a-0)=f(a+0)=A
2)
достат.
Пусть
Ǝ=Aи
Ǝ
=A
(
ε>0)(
Ǝƃ1(ε)>0)(
xϵE,a-
ƃ1<
<x<a): |f(x)-A|<ε
(2)
(ε>0)(
Ǝƃ2(ε)>0)(
xϵE,a<x<a+ƃ2):
|f(x)-A|<ε
(3)
Выберем
ƃ(ε)=min{ƃ1(ε),
ƃ2(ε)}/
тогда при a-ƃ<x<a
и a<x<a+ƃ
определения (2) и (3) выполн. одновременно.
Это означает, что Ǝ.
________________________________________________________________________
18) Первый замечательный предел следствия из него.
Док-во:
пусть 0<x<
Sтр aom < Sсект aom< Sтр aob
Sтр aom=1/2*om*oa*sinx = 1/2sinx
Sсект
aom=(*om2)/2
= 1/2*x
Sтр aob=1/2*oa*ab=1.2*tgx
1/2sinx
< 1/2*x < 1.2*tgx=1/2*|/ 1/2sinx
1
<
<
(*) =>cosx
<
< 1 |*
=>по милицейской теореме
Рассмотрим
предел при –
<x<0
=
(замена x=-t,
x→0,
t→+0)
=
=
=
= 1
Ǝf(+0)=f(-0)=1
=> Ǝ
Следствия из первого замечательного предела.
Если в (*) перейти к
,
=
=1
=1
=
(замена x=sint,
x→0,
t→0)
=
=
=1
=1
=
(замена x=tgt,
x→0,
t→0)
=
=
=1
________________________________________________________________________
19)Второй замечательный предел и следствия из него.
Ранее
было доказано, что
.
Докажем,
что
.
Пусть x→+∞. Каждое значение x заключено между двумя большими нуля числами n≤x<n+1, n=[x]. =>
<
≤
|+1 => (
+1) < (
+1) ≤ (
+1). Возведем в степень так, чтобы у меньших выражений степень была меньше. (
+1)n < (
+1)x ≤ (
+1)n
На
основании (*) |=>
=
=
= е
=
*
= е
По
милицейской теореме Ǝ.
Пусть x→-∞
=
(замена x=-t,
x→-∞,
t→+∞)
=
.
Следствия из второго замечательного предела.
= e
=
(замена 1/x=t,
x→0,
t→∞)
=
=e
=
=
=
=
=
=
= 1
= lna
=
(замена
=t,
x→0,
t→0,
,x=
) =
= =
=
=
=lna
= 1
________________________________________________________________________
20)Сравнение бесконечно малых величин.
Пусть на мн-ве Е задана ф-я y=f(x) и а-предельная точка мн-ва Е.
Ф-я f(x) назыв. б.м. при x→a
F(x)
– б.м. при x→a,
если
=>(
ε>0)(
Ǝƃ(ε)>0)(
xϵE,
0<|x-a|<ƃ):
|f(x)|<ε
Опред.2: пустьy=f(x) и y=g(x) – б.м. при x→a
Если Ǝ
=
= 0, то говорят, чтоf(x) явл. величиной более высокого порядка малости, чем g(x). Обознач. f(x)=0(g(x))
Более высокий порядок малости означает, что f(x) быстрее стремится к 0, чем g(x)
Если Ǝ
=
= ∞, то говорят, чтоg(x) имеет более высокий порядок малости, чем f(x). Обознач. g(x)=0(f(x))
Если Ǝ
=
=C, где С≠0-конечное число, то говорят, что f(x) и g(x) – б.м. одного порядка малости.
________________________________________________________________________