12)Монотонные последовательности. Теоремы о пределах монотонных последовательностей.

Опред.: послед-ть x_n назыв.: 1) монот.-возраст, (n₁, n₂ϵN)(n₁<n₂):x_n1<x_n2

2) неубывающей, (n₁, n₂ϵN)(n₁<n₂):x_n1≤x_n2

3) монот.-убыв, (n₁, n₂ϵN)(n₁<n₂):x_n1>x_n2

4) невозрастающей, (n₁, n₂ϵN)(n₁<n₂):x_n1≥x_n2

Теорема о пределе монот.-возраст. послед-ти.

Всякая монот.-возраст. послед-ть, ограниченная сверху, имеет предел, равный точной верхней грани послед-ти.

Всякая монот.-возраст. послед-ть, не ограниченная сверху, имеет предел, равный +∞.

Док-во: пусть x_n – монот.-возраст. и ограниченна сверху. Всякое огранич. сверху мн-во имеет точную верхнюю грань, т.е. существует M=sup x_n  (ƎMϵR)( nϵN):x_n≤M (1)

(ε>0)(ƎN(ε)ϵN):x_N(ε)>M-ε (2).

Т.к. x_n – монот.-возраст., то n> N(ε):x_n> x_N(ε)>M- ε => M-ε<x_n≤M<M+ ε => M-ε<x_n<M+ε для (n> N(ε) => |x_n-M|< ε для (n> N(ε) => (ε>0)(ƎN(ε)ϵN)( nϵN, n>N(ε)): |x_n-M|< ε   _n=M ч.т.д.

Пусть x_n – монот.-возраст. и не ограниченна сверху: (ƎMϵR)( nϵN):x_n<M

(ε>0)(ƎN(ε)ϵN):x_N(ε)>ε

Т.к. x_n – монот.-возраст, то n> N(ε):x_n> x_N(ε)>ε

Получено след. опред: (ε>0)(ƎN(ε)ϵN)( nϵN, n>N(ε)): x_n>ε => _n=+∞. Ч.т.д.

Теорема о пределе монот.-убыв. послед-ти.

Если послед-ть монот.-убыв. и ограничена снизу, то она имеет предел, равный точной нижней грани послед-ти.

Предел монот.-убыв. послед-ти, неограниченной снизу, равен -∞.

Док-во: пусть x_n-монот.-убыв. и ограничена снизу. Всякое огранич. снизу мн-во имеет точную нижнюю грань, т.е. существует m=inf x_n  (ƎmϵR)( nϵN):x_n≥m (1)

(ε>0)(ƎN(ε)ϵN):x_N(ε)<m+ε (2).

Т.к. x_n – монот.-убыв., то n> N(ε):x_n< x_N(ε)<m+ε => m-ε<m≤ x_n<m+ε => m-ε<x_n<m+ε для n> N(ε) => |x_n-m|<ε => для n> N(ε) => (ε>0)(ƎN(ε)ϵN)( nϵN, n>N(ε)): |x_n-m|<ε   _n=m ч.т.д.

Пусть x_n – монот.-убыв. и не ограничена снизу: (ƎmϵR)( nϵN):x_n≥m

(ε>0)(ƎN(ε)ϵN):x_N(ε)<ε

Т.к. x_n – монот.-убыв. послед-ть, то n> N(ε):x_n<x_N(ε)<ε

Получено след. опред.: : (ε>0)(ƎN(ε)ϵN)( nϵN, n>N(ε)): x_n<ε => _n=-∞. Ч.т.д.

________________________________________________________________________

13)Доказать , что последовательностьимеет предел.

= 1+n * (1/n) + (n(n-1))/2! * (1/n²)+(n(n-1)(n-2))/3! * (1/n³) +…+ (n(n-1)(n-2)…*2*1)/n! * (1/nⁿ)

= 2+1/2*(1-1/n) + 1/3!*(1-1/n)(1-2/n) +…+ 1/n!*(1-1/n)(1-2/n)…(1-(n-1)/n)

= (1-1/(n+1))ⁿ⁺¹=2 + 1/2*(1-1/(n+1)) + 1/3!*(1-1/(n+1))(1-2/(n+1)) +…+ 1/n!*(1-1/(n+1))(1-2/(n+1))…(1-(n-1)/(n+1)) + 1/(n+1)!*(1-1/(n+1))(1-2/(n+1))…(1-n/(n+1))

Сравним и:

1/2*(1-1/n) < 1/2*(1-1/(n+1))

1/3!*(1-1/n)(1-2/n) < 1/3!*(1-1/n+1)(1-2/(n+1))

…

1/n!*(1-1/n)(1-2/n)…(1-(n-1)/n) < 1/n!*(1-1/(n+1))(1-2/(n+1))…(1-(n-1)/(n+1))

В есть дополнительное положительное слагаемое 1/(n+1)!*(1-1/(n+1))(1-2/(n+1))…(1-n/(n+1)), поэтому >. Т.к.>, то послед-ть монот. Возрастает.

Теперь докажем, что ограничена сверху.

= 2 + 1/2*(1-1/n) + 1/3!*(1-1/n)(1-2/n) +…+ 1/n!*(1-1/n)(1-2/n)…(1-(n-1)/n) < 2 + 1/2 + 1/3! + 1/4!+ +…+ 1/n! < 2 + 1/2 + 1/2² + 1/2³ +…+ 1/2^n-1 = 1 + (1 + 1/2 + 1/2² + 1/2³ +…+ 1/2^n-1) = 1 + (1-(1/2)ⁿ/(1-1/2) = 1 + 2(1-(1/2)ⁿ) = 3-1/(2^n-1) < 3

Т.е. послед-ть x_n – ограничена сверху и по теореме существует предел

.

________________________________________________________________________