46)Стандартные разложения. Определение числа e с точностью до 0,001.

Стандартное разложение получено по ф-ле (4) при x₀=0.

1. y=e^x |_x=0 = 1, y’=e^x |_x=0 = 1, y’’=e^x |_x=0 = 1, … , y⁽ⁿ⁾ = e^x |_x=0 = 1.

e^x = 1 + ++ … ++ 0(xⁿ), R_n(x) = *xⁿ⁺¹, 0<С<1 – остат. член в форме Лагранжа для показательной ф-и.

y⁽ⁿ⁺¹⁾ = e^x | _x=C = e^C

2. y=sinx |_x=0 = 0, y’=cosx |_x=0 = 1, y’’=-sinx |_x=0 = 0, y’’’=-cosx |_x=0 = -1, y^iv=sinx |_x=0 = 0, y^v=cosx |_x=0 = 1, y^vi=-sinx |_x=0 = 0, y^vii=-cosx |_x=0 = -1

sinx = x – +–+ … + (-1)^n-1*+ 0(x²ⁿ).

R_n(x) = (-1)ⁿ * *xⁿ⁺¹ – остат. член в форме Лагранжа для y=sinx.

Т.к. ф-я y=sinx – нечетн., то в разлож. по ф-ле Тейлора содерж. только нечетн. степени x.

3. y=cosx |_x=0 = 1, y’=-sinx |_x=0 = 0, y’’=-cosx |_x=0 = -1, y’’’=sinx |_x=0 = 0, y^iv=cosx |_x=0 = 1

cosx = 1 - +-+ … + (-1)ⁿ*+ 0(x²ⁿ⁺¹)

Т.к. ф-я y=cosx – четн., то в разлож. по ф-ле Тейлора содерж. только четн. степени x.

4. αϵR. y=(1+x)^α |_x=0 = 1, y’=α(1+x)^α-1 |_x=0 = α , y’’=α(α-1)(1+x)^α-2 |_x=0 = α(α-1)

y’’’=α(α -1)( α -2)(1+x)^α-3 |_x=0 = α(α-1)( α-2), y⁽ⁿ⁾ = (α(α-1)( α-2)…(1+x)^α-n |_x=0 = α(α-1)…(α-n+1)

(1+x)^α = 1+ x + ++ … ++ 0(x_n) биномиальное разлож-е

5. y=ln(1+x) |_x=0 = 0, y’ = |_x=0 = 1, y’’ = |_x=0 = -1, y’’’ = |_x=0 = 2! , y^iv = |_x=0 = -3!, …, yⁿ = |_x=0 = (-1)^n-11*2*…*(n-1) = (-1)^n-1(n-1)!

ln(1+x) = x - +-+ … ++ 0(xⁿ) = x - +-+ …+ + 0(xⁿ).

Определение числа e с точностью до 0,001.

Воспользуемся стандартным разложением e^x в форме Лагранжа:

e^x = 1 + +++ … ++*xⁿ⁺¹.

Пусть x=1: e = 2 + ++ … ++, R_n = <<0,001 => e^C<e<3

При n=5 => R_n = =≈ 0,00416

При n=6 => R_n = ≈ 0,00059 < 0,001

e = 2 + ++++≈ 2,718

________________________________________________________________________

47) Достаточное усл-е монотонности ф-и.

Теорема: пусть ф-я f(x) дифференцируема на (a,b), если:

1. f'(x)>0, то f(x) монот. возраст. на (a,b)

2. f’(x)<0, то f(x) монот. убыв. на (a,b)

3. f’(x)≡0, при xϵ(a,b),то f(x) = const.

Док-во: выберем произвольный отрезок [x₁,x₂]c(a,b) и на этом отрезке запишем ф-лу конечных приращений Лагранжа, т.е.ƎѮϵ(x₁,x₂),

f(x₂) – f(x₁) = f’(Ѯ)(x₂-x₁) (*)

1. пусть f’(x)>0 при xϵ(a,b), то f’(Ѯ)>0. Тогда из (*) получаем f(x₂) – f(x₁)>0 => f(x₂) > f(x₁) x₂>x₁, т.е. f(x) монотонно возраст. на (a,b)

2. пусть f’(x)<0 при xϵ(a,b), то f’(Ѯ)<0. Тогда из (*) получаем f(x₂) – f(x₁)<0 => f(x₂)<f(x₁) x₂<x_1, т.е. f(x) монотонно убывает на (a,b)

3. пусть f’(x)≡0 при xϵ(a,b), то f’(Ѯ)≡0. Тогда из (*) получаем f(x₂) – f(x₁)=0 => f(x₂)=f(x₁), т.е. f(x) постоянная на (a,b).

________________________________________________________________________

48)Определение локального экстремума. Необходимое условие экстремума.

Определение локального экстремума.

Пусть ф-я f(x) определена на (a,b).

Опред.1: ф-я f(x) имеет локальный максимум в т. x₀ϵ(a,b), если Ǝ такая окр-ть этой точки, что все значения ф-и в этой окр-ти будут меньше значений ф-и в т. x₀, т.е. (Ǝƃ>0)( xϵ(a,b),|x-x₀|<ƃ):f(x)<f(x₀). Если выполняется неравенство f(x)≤f(x₀), то такой максимум называется нестрогим.

Опред.2: ф-я f(x) имеет в т. x₀ϵ(a,b) локальный минимум, если существует такая окр-ть этой точки, что все значения ф-и в этой окр-ти будут больше значений ф-и в т. x₀, т.е. (Ǝƃ>0)( xϵ(a,b),|x-x₀|<ƃ):f(x)>f(x₀). Если выполняется неравенство f(x)≥f(x₀), то такой минимум называется нестрогим.

Точки лок. макс. и мин. назыв. точками экстремума.

Необходимое условие экстремума.

Если f(x) имеет локал. Экстремум в т. x₀ϵ(a,b), то f’(x)=0, либо f’(x)=∞, либо не существует.

Док-во: предположим, что т. x₀ϵ(a,b) – точка локал. Максимума и пусть существует f’(x). Покажем что f’(x)=0.

Запишем определение точки максимума: (Ǝƃ>0)( xϵ(a,b), x₀–ƃ<x< x₀+ƃ):f(x₀)≥f(x) и составим отношение :

1. пусть x→x₀, x<x₀: ≥0

рассмотрим =f_-‘(x₀)≥0

2. пусть x→x₀, x>x₀:≤0

= f₊‘(x₀)≤0.

Мы предположили, что Ǝf’(x₀) => f_-‘(x₀) = f₊’(x₀) = f’(x₀) => f(x₀)=0.

Аналогично доказывается, если x₀ – точка локал. минимума и существует f’(x₀).

Случай, когда x₀ - точка локал. экстремума и либо f’(x₀)=∞, либо не сущ. Покажем на примерах.

1. y=|x|, x=0 – т. min

f’(0) не существует

2. y=1-|x|, x=0 – т.max

f’(0) не существует

3. y=

y’=, y’(0)=∞

x=0 – т. min

4. y=

y’=, y’(0)=∞, x=0 – т. max

теорема дает необходимое, но не достаточное усл-е экстремума. Необходимое усл-е экстремума исп. для нахождения точек, в которых экстремум может быть, а может не быть. Такие точки назыв. точками подозрительными на экстремум.

________________________________________________________________________