65. Свойства интеграла Римана, выражаемые равенствами.

1) если f(x)ϵR[a,b] и f(x)≥0 для xϵ[a,b], то ≥0.

Док-во: ≥0,Δx_i=x_i-x_i-1>0.

= =>≥0.

Следствие: если f(x)≤0 для xϵ[a,b], то ≤0.

2) если f(x)ϵR[a,b], g(x)ϵR[a,b] и f(x)≤g(x) для xϵ[a,b],то ≤.

Док-во: рассмотрим ф-ю g(x)–f(x).

(g(x)–f(x))ϵR[a,b] (по св-ву 1 предыдущего пункта).

g(x)–f(x)≥0 (по условию)

тогда ≥0 =>==> =.

3) если f(x)ϵR[a,b] , то |f(x)|ϵR[a,b] и имеет место формула ≤.

Док-во: ==≤ ≤==.

Следовательно ≤.

4) если f(x)ϵR[a,b] и m≤f(x)≤M для xϵ[a,b],то m(b–a)≤≤M(b–a).

Док-во: m≤f(x)≤M |*Δx_i>0, Ѯ_iϵ[x_i-1, x_i] (i=1, …, n)

mΔx_i ≤ f(Ѯ_i)Δx_i ≤ MΔx_i |

m≤≤ M|

m*≤≤ M*

m*≤≤ M*=> m(b-a)≤≤M(b–a).

S=

m(b–a), M(b–a) – площади

прямоугольников.

m(b–a)≤ Sтр ≤M(b–a).

Следствие: существует т.Ѯϵ[a,b] такая, что =f(Ѯ)(b–a).

Sтр = Sпрямоуг = f(Ѯ)(b–a).

________________________________________________________________________

66. Основная теорема интегрального исчисления.

Если ф-я f(x)ϵR[a,b] и существует первообразная F(x) для ф-и f(x), то =F(b) – F(a).

Док-во: разобьем отрезок [a,b] на n частей точками a=x₀<x₁<x₂<…<x_i-1<x_i<…<x_n=b и на каждом из элементарных участков для ф-и f(x) запишем ф-лу Лагранжа конечных приращений: ƎѮiϵ[x_i-1, x_i] F(x_i) – F(x_i-1)=F’(Ѯ_i)(x_i, x_i-1) = f(Ѯ_i)Δx_i.

F’(x)=f(x) для xϵ[a,b].

= .

В определении Ѯi – любые точки. Выберем их такими же, как и в формуле Лагранжа.

= === == == F(b) – F(a).

= F(x) |_a^b = F(b) – F(a). – формула Ньютона-Лейбница.

Замечание ф-лы Ньютона-Лейбница.

При вычислении опред. интеграла исходя из определения, пользуются след. свойствами:

1. если f(x) – четная на симметричном отрезке [-a;a], то .

2. Если f(x) – нечетная на симметричном отрезке [-a;a], то = 0

3. =0, =0

Интегралы тригонометрических ф-й по периоду равны 0.

________________________________________________________________________

67. Замена переменной в определенном интеграле.

Теорема: пусть ф-я f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b]. Положим x=ϕ(t), причем ф-я ϕ(t) удовлетв. след. условиям:

1. ϕ(t) определена и непрерывна на отрезке [α,β] и ее значения не выходят за пределы промежутка [a,b], т.е. a≤ϕ(t)≤b для tϵ[α,β].

2. ϕ(α)=a, ϕ(β)=b.

3. существует непрерывная производная ϕ’(t) для любых tϵ[a,b]. Тогда имеет место ф-ла замены переменной:

= .

Док-во: формула замены переменной для неопределенного интеграла имеет вид

Для интеграла Римана существует ф-ла Ньютона-Лейбница:

= F(x) |_a^b = F(b) – F(a)ю

Рассмотрим интеграл = F(ϕ(t))|_α^β = F(ϕ(β)) – F(ϕ(α)) = F(b) – F(a) = =.Ч.т.д.

________________________________________________________________________

68) Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Теорема: если ф-и u(x) и v(x) непрерывны вместе со своими производными на отрезке [a,b], т.е. u(x)ϵC’[a,b] и v(x)ϵC’[a,b], то имеет место ф-ла

= uv|_a^b - .

________________________________________________________________________