14)Доказать, что

1) , (>1)

X_n = >0 – послед-ть, огранич. снизу

X_n+1 =

X_n+1 / X_n = * =< 1 => n+1 < an =>(a-1)n > 1 => n >

X_n – монот.-убывает при n > и ограничена снизу(по теореме)

Существует предел _n = A

X_n+1 = * x_n (A=1/a * A) |*=> A=1/a * A => A=0.Следовательно . ч.т.д.

2) , (>1)

X_n = – послед-ть ограничена снизу

X_n+1 =

X_n+1 / X_n = = < 1 => a < n+1 => n > a-1

X_n – монот.-убывает при n > a-1 и ограничена снизу(по теореме)

Существует предел _n = A

X_n+1 = * x_n (A=0 * A) |*=> A=0.Следовательно . Ч.т.д.

3) = ==== 0

4)

x_n = – 1 (n>1). Число n представимо в виде n = (ⁿ = (1 + ())ⁿ = 1 + n(–1)+ +* (– 1)² + * (– 1)³ + … + (– 1)ⁿ > * (– 1)²

n > * (– 1)² => (– 1)² < =>– 1 >|*=> по теореме о зажатой послед-ти_n=0.

= = 0 => Ч.т.д.

________________________________________________________________________

15)Подпоследовательности и частичные пределы. Теоремаы о подпоследовательностях.

Опред.: пусть задана числ. послед-ть x_n. Из натур. мн-ва чисел выберем послед. номеров n₁<n₂<n₃<…<n_k<… . Тогда эл-ты послед-ти x_n с номерами x_n1, x_n2, …, x_nk, … образуют подпоследовательность или частичную послед-ть для послед-ти x_n. Если подпослед-ть сходится, то ее предел назыв. частичным пределом.

Пример: x_n=– числ. послед-ть {x_n, , , …,, …}

{x_2n} = {,, …,, …} частичные послед-ти (подпослед-ти) дляx_n=

{x_2n+1} = {1, ,, …,, …}

{x_n} = {1, ,,,, …,, …}

Подпослед-ти можно выбирать любыми способами.

Теоремы о подпоследовательностях.

Теор.1: для того чтобы числ. послед-ть имела своим пределом число a, необходимо и достаточно, чтобы любая ее подпослед-ть x_nk сходилась к числу a(без док-ва).

Теор.2: если послед-ть x_n имеет две подпослед-ти, сходящиеся к разным пределам, то данная послед-ть x_n разходится.

Док-во: x_nk→a _при n_k→∞ и x_nm→и при n_m→∞ и a≠b

(ε>0)(ƎN₁(ε)ϵN)( nϵN, n> N₁(ε)):|x_nk-a|<ε (1)

(ε>0)(ƎN₂(ε)ϵN)( nϵN, n> N₂(ε)):|x_nm-b|<ε (2)

Выберем ε таким, чтобы ε-окр-ти a и b не пересекались. N(ε)=max{N₁(ε), N₂(ε)}.

Тогда при n_k> N(ε) и n_m> N(ε) определения (1) и (2) выполняются одновременно. Отсюда следует, что не существует.

Замечание: понятие подпослед-ти и частичной послед-ти удобно использовать для док-ва расходимости послед-ти.

________________________________________________________________________

16) Определение придела функции по Коши и по Гейне. Теорема об эквивалентности двух определений придела.

Определение предела функции по Коши.

Пусть на E задана ф-я y=f(x) и a – предел точки мн-ва Е. Число А назыв. пределом ф-и f(x) при стремлении x к a, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое положительное число ƃ(ε), что выполняется неравенство |f(x)-A|<ε лишь только при 0<|x-a|<ƃ и обозначается:  (ε>0)(Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, 0<|x-a|<ƃ): |f(x)-A|<ε.

0<|x-a|<ƃ  a- ƃ<x<a+ ƃ

a≠x

|f(x)-A|< ε => - ε<f(x)-A< ε |+A => A- ε<f(x)<A+ ε

ƃ (ε) = min{ƃ₁, ƃ₂}

x находится в малой ƃ-окр-ти точки a, а соответствующие значения ф-и лежат в малой ε-окр-ти А.

(Ǝ ε₀>0)( ƃ>0)( ƎϵE, 0<|-a|<ƃ): |f()-A|≥ε₀.

Определение предела функции по Гейне.

Пусть на Е задана ф-я f(x) и a-предельная точка мн-ва Е. составим из эл-тов мн-ва Е послед-ть значений x: x₁, x₂, …, x_n, …, отличных от a и сходящихся к a.(x_n→a, x≠a)( nϵN)

Рассмотрим соответствующую послед-ть значений ф-и f(x₁), f(x₂), …, f(x_n), … . Число А назыв. пределом ф-и f(x) при стремлении x к a, если для любых послед-тей x_ncE, отличных от a и сходящихся к а, соответствующая послед-ть значений ф-и имеет своим пределом число А. ({x}cE,x_n→a, x_n≠a):f(x_n)→A.

Ǝ

Ǝ

Теорема об эквивалентности двух определений предела.

Опред. Предела по Коши и по Гейне эквивалентны.

Док-во: пусть выполнено определение предела по Коши (ε>0)(Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, 0<|x-a|<ƃ): |f(x)-A|<ε (1).

Покажем, что опред. предела по Гейне также будет выполнено. Для этого выберем послед-ть значений x: x₁, x₂, …, x_n, которая сходится к a и и не равна a.(x_n→a, x≠a). Это возможно, т.к. а-предельная точка мн-ва Е.

Т.к. => (ƃ=ƃ(ε)>0)( Ǝ N(ε)ϵN)( nϵN, n> N(ε)):|x_n-a|<ƃ.

Тогда при n> N(ε) => |f(x_n)-A|<ε в силу определения (1), т.е. получено след. опред.:

(ε>0)(ƎN(ε)ϵN)( nϵN, n>N(ε)):|f(x_n)-A|<ε => . Это означает, что выполнено определение предела по Гейне.

Пусть выполняется определение предела по Гейне, т.е. ({x}cE,x_n→a, x_n≠a):f(x_n)→A. (2) и предположим, что определение предела по Коши не выполнено, т.е. (Ǝ ε₀>0)( ƃ>0)( ƎϵE, 0<|-a|<ƃ): |f()-A|≥ε₀ (3)

Т.к. в определении (3) ƃ-любое, то выберем ƃ= ƃ_n=, а в качествевыберем x_n из опред. (2)

Получаем =x₁, т.е. 0<|x₁-a|< ƃ₁=1 => |f(x₁)-A|≥ε₀

= x₂, т.е. 0<|x₂-a|< ƃ₂= => |f(x₂)-A|≥ε₀

= x_n, т.е. 0<|x_n-a|< ƃ_n==> |f(x_n)-A|≥ε₀ => при ƃ_n→∞, ƃ_n=→0 =>x_n→a, но f(x_n) не→А, т.е. определение предела по Гейне не выполнено. Следовательно они эквивалентны.

________________________________________________________________________