![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1)Числовые множества. Структура множества действительных чисел. Свойства множества действительных чисел.
- •2)Числовые подмножества. Числовые промежутки. Окрестность точки
- •3) Ограниченные числовые множества, точные грани множеств.
- •4)Определение функции, основные свойства функции.
- •5)Обратные функции, основные свойства функции.
- •6)Определение числовой последовательности и ее предела.
- •7)Теорема о единственности предела числовой последовательности.
- •8)Теорема об ограниченности сходящейся числовой последовательности.
- •9)Арифметические действия над числовыми последовательностями
- •10)Теоремы о предельном переходе в неравенствах
- •11)Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Связь между ними. Свойства бесконечно малых последовательностей.
- •12)Монотонные последовательности. Теоремы о пределах монотонных последовательностей.
- •13)Доказать , что последовательностьимеет предел.
- •14)Доказать, что
- •15)Подпоследовательности и частичные пределы. Теоремаы о подпоследовательностях.
- •16) Определение придела функции по Коши и по Гейне. Теорема об эквивалентности двух определений придела.
- •17)Односторонние пределы. Необходимое и достаточное условие существования предела функции.
- •18) Первый замечательный предел следствия из него.
- •19)Второй замечательный предел и следствия из него.
- •20)Сравнение бесконечно малых величин.
- •21)Определение порядка б.М. И выделение главной части б.М.
- •22)Вывести таблицу эквивалентных б.М.
- •23)Сравнение б.Б величин .
- •25)Непрерывность функции в точке. Необходимое и достаточное условие непрерывности в точке.
- •26) Классификация точек разрыва.
- •27)Непрерывность функции на множестве. Непрерывность элементарных функций.
- •28)Непрерывность сложной и обратной функции.
- •29) Первая и вторая теоремы Коши.
- •30) Первая и вторая теоремы Вейерштрасса.
- •31)Определение производной. Геометрический и физический смысл.
- •32)Односторонние производные. Необходимое и достаточное условие существования производной.
- •33)Правила вычисления производных от суммы , произведения и частного.
- •35)Производная обратной функции.
- •36) Производная функции заданной параметрически.
- •37)Производная неявно заданной функции.
- •39) Связь между непрерывностью и дифференцируемостью ф-и.
- •40) Определение дифференциала ф-и. Геометрический смысл дифференциала. Правила вычисления дифференциала.
- •43)Повторное дифференцирование в дифференциалах. Нарушение инвариантности формы высших дифференциалов.
- •44) Формула Тейлора для многочлена.
- •45)Формула Тейлора для произвольной ф-и.
- •46)Стандартные разложения. Определение числа e с точностью до 0,001.
- •47) Достаточное усл-е монотонности ф-и.
- •49) Достаточные условия экстремумафункции в точке
- •50) Достаточные условия выпуклости (вогнутости) ф-и. Определение выпуклой и вогнутой ф-и.
- •51) Точки перегиба. Достаточное условие точки перегиба.
- •52) Определение неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.
- •53)Вывести таблицу интегралов из определения неопределенного интеграла .
- •54) Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •55)Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
- •56. Понятие о рациональных и дробно-рациональных функциях. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей.
- •57) Интегрирование простейших дробей.
- •58. Вывод рекуррентной формулы.
- •60. Интегрирование дифференциального бинома. Подстановки Чебышева.
- •61. Подстановки Эйлера.
- •62. Интегрирование тригонометрических функций.
- •63. Определение интеграла Римана. Функции, интегрируемые по Риману.
- •64. Свойства интеграла Римана, выражаемые равенствами.
- •65. Свойства интеграла Римана, выражаемые равенствами.
- •66. Основная теорема интегрального исчисления.
- •67. Замена переменной в определенном интеграле.
- •68) Интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •69) Вычисление площадей плоских фигур в декартовых координатах.
- •70) Площадь плоской фигуры в параметрическом виде.
- •71) Площадь плоской фигуры в полярных координатах.
- •72. Вычисление длины дуги в декартовых координатах.
- •73. Вычисление длины дуги в параметрическом виде.
- •74. Вычисление длины дуги в полярных координатах.
- •75) Понятия о двух типах несобственных интегралов
7)Теорема о единственности предела числовой последовательности.
Если числовая послед-ть сходится, то она сходится к единственному пределу.
Док-во:
методом от противного. Предпол., что
числ. послед-ть сходится к двум различным
пределам. Пусть Ǝn=а
(
ε>0)(ƎN1(ε)ϵN)(
nϵN,
n>
N1(ε)):|xn-a|<ε
(1)
и
пусть
n=а`
(
ε>0)(ƎN2(ε)ϵN)(
(
nϵN,
n>
N2(ε)):|xn-a`|<ε
(2) ,
причем a≠a`.
Т.к. в определении предела ε любое, то
выберем его таким, чтобы ε-окр-ти чисел
a
и a`
не пересекались.
Выберем N(ε) равное максимальному { N1(ε), N2(ε)}. Тогда при любых n> N(ε)определения (1) и (2) выполняются одновременно.
Геометрический смысл определения: начиная с некоторого номера все элементы лежат в ε-окр-ти этой точки. След-но при n>N(ε) все элементы послед-ти лежат в ε-окр-ти точки а и ε-окр-ти точки а`, что является невозможным => a=a`, т.е. послед-ть сходится к единственному пределу.
Опред.:
числ. послед-ть назыв. ограниченной,
если мн-во значений ее ограниченно,
т.е. (ƎmϵR)(ƎMϵR)(
nϵN):m≤x≤M/
или определение огранич-ой послед-ти
можно записать так: (ƎM>0)(
nϵN):|xn|≤M.
________________________________________________________________________
8)Теорема об ограниченности сходящейся числовой последовательности.
Если числ. послед-ть сходится, то она ограничена.
Док-во:
Пусть xn
сходится, т.е.
n=а
(
ε>0)(ƎN(ε)ϵN)(
nϵN,
n>
N(ε)):|xn-a|<ε.
Выберем число M~=max{ε,
|x1-a|,
|x2-a|
,…, |xn-a|}ю
тогда при
nϵN
будет выполнятся неравенство |xn-a|≤M~
=> -M~≤
xn-a≤M~
или a-M~≤xn≤a+M~
(a-M~=m,
a+M~=M)
(Ǝm=a-M~)(ƎM=a+M~)(nϵN):m≤xn≤M.
это означает, что числ. послед-ть
ограничена.
________________________________________________________________________
9)Арифметические действия над числовыми последовательностями
Если
xn
и
yn-сходящиеся
числ. послед-ти, т.е.
n=x,
n=y,
то:
1)
n
±
yn)
=
n
±
n=
x ± y
Док-во:
докажем, что
n
+
yn)
= x
+ y
Т.к.
xn→x
(ε>0)(ƎN1(ε)ϵN)(
nϵN,
n>
N1(ε)):|xn-x|<ε/2
(1)
Т.к.
yn→y
(ε>0)(ƎN2(ε)ϵN)(
nϵN,
n>
N2(ε)):|yn-y|<ε/2
(2).
Выберем
N(ε)=max{
N1(ε),
N2(ε)}.
Тогда при
n>N(ε)
опред-я (1) и (2) выполняются одновременно.
Оценим
разность при
n>
N(ε):
|(xn+yn)-(x+y)|
= |(xn-x)+(yn-y)|≤|xn-x|+|yn-y|<
ε/2 + ε/2 = ε
Получено
следующее определение:
(ε>0)(ƎN(ε)ϵN)(
nϵN,
n>
N(ε)):
|(xn+yn)-(x+y)|<
ε
Это
означает, что
n
+
yn)
= x
+ y.
Ч.т.д.
Док-во:
докажем, что
n
-
yn)
= x
- y
Т.к.
xn→x
(ε>0)(ƎN1(ε)ϵN)(
nϵN,
n>
N1(ε)):|xn-x|<ε/2
(1)
Т.к.
yn→y
(ε>0)(ƎN2(ε)ϵN)(
nϵN,
n>
N2(ε)):|yn-y|<ε/2
(2).
Выберем
N(ε)=max{N1(ε),
N2(ε)}.
Тогда при
n>N(ε)
опред-я (1) и (2) выполняются одновременно.
Оценим
разность при
n>
N(ε):
|(xn-yn)-(x-y)|
= |(xn-x)-(yn-y)|≤|xn-x|-|yn-y|<
ε/2 + ε/2 = ε
Получено
следующее определение:
(ε>0)(ƎN(ε)ϵN)(
nϵN,
n>
N(ε)):
|(xn-yn)-(x-y)|<
ε
Это
означает, что
n
-
yn)
= x
- y.
Ч.т.д.
2)
n*yn)
=
n
*
n
=
xy
Т.к.
xn→x
(ε>0)(ƎN1(ε)ϵN)(
nϵN,
n>
N1(ε)):|xn-x|<ε
(1)
Т.к.
yn→y
(ε>0)(ƎN2(ε)ϵN)(
nϵN,
n>
N2(ε)):|yn-y|<ε
(2).
Выберем
N(ε)=max{
N1(ε),
N2(ε)}.
Тогда при
n>N(ε)
опред-я (1) и (2) выполняются одновременно.
Оценим
разность |(xn*yn)-(xy)|
при
n>
N(ε)
|xn*yn-xy| = |(xn-x)*(yn-y)+xyn+xny-2xy| = |(xn-x)(yn-y)+x(yn-y)+y(xn-x)|≤ |(xn-x)*(yn-y)|+| x(yn-y)|+|y(xn-x)| = |xn-x|*|yn-y|+|x|*|xn-x|+|y|*|yn-y|<ε2+|x|*ε+|y|*ε = ε1
Получаем
следующее определение: (ε1>0)(ƎN(ε1)ϵN(ε))(
nϵN,
n>
N(ε1)):
|xn*yn-xy|<
ε1
Это
означает, что
n*yn)
= xy
ч.т.д.
3)
n/yn)
=
n
/
n=
x/y, yn≠0,
y≠0
Сначала
докажем, что
n
= 1/y
Т.к.
yn→y
(ε>0)(ƎN1(ε)ϵN)(
nϵN,
n>
N1(ε)):|yn-y|<ε
(1)
Т.к.
начиная с номера N1(ε)
все эл-ты послед-ти yn
лежат в ε-окр-ти точки y,
то они все будут удовлетворять следующему
неравенству: |y1|>|y|/2
при
n>
N2(ε)
Выберем
за N(ε)=max{N1(ε),
N2(ε)}
и при
n>
N(ε)
оценим разность: |1/y
– 1/yn|
= |(y-yn)/y*yn|
= |y-yn|/|yn|*|y|
< |yn-y|/(|y|/2)*|y|
= 2|yn-y|/|y|*|y|
< 2 ε/|y|2
= ε1
=> =>
n
= 1/y
Рассмотрим
n/yn)
=
n
*
1/yn)
= x
* 1/y
= x/y
Ч.т.д.
________________________________________________________________________