- •1)Числовые множества. Структура множества действительных чисел. Свойства множества действительных чисел.
- •2)Числовые подмножества. Числовые промежутки. Окрестность точки
- •3) Ограниченные числовые множества, точные грани множеств.
- •4)Определение функции, основные свойства функции.
- •5)Обратные функции, основные свойства функции.
- •6)Определение числовой последовательности и ее предела.
- •7)Теорема о единственности предела числовой последовательности.
- •8)Теорема об ограниченности сходящейся числовой последовательности.
- •9)Арифметические действия над числовыми последовательностями
- •10)Теоремы о предельном переходе в неравенствах
- •11)Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Связь между ними. Свойства бесконечно малых последовательностей.
- •12)Монотонные последовательности. Теоремы о пределах монотонных последовательностей.
- •13)Доказать , что последовательностьимеет предел.
- •14)Доказать, что
- •15)Подпоследовательности и частичные пределы. Теоремаы о подпоследовательностях.
- •16) Определение придела функции по Коши и по Гейне. Теорема об эквивалентности двух определений придела.
- •17)Односторонние пределы. Необходимое и достаточное условие существования предела функции.
- •18) Первый замечательный предел следствия из него.
- •19)Второй замечательный предел и следствия из него.
- •20)Сравнение бесконечно малых величин.
- •21)Определение порядка б.М. И выделение главной части б.М.
- •22)Вывести таблицу эквивалентных б.М.
- •23)Сравнение б.Б величин .
- •25)Непрерывность функции в точке. Необходимое и достаточное условие непрерывности в точке.
- •26) Классификация точек разрыва.
- •27)Непрерывность функции на множестве. Непрерывность элементарных функций.
- •28)Непрерывность сложной и обратной функции.
- •29) Первая и вторая теоремы Коши.
- •30) Первая и вторая теоремы Вейерштрасса.
- •31)Определение производной. Геометрический и физический смысл.
- •32)Односторонние производные. Необходимое и достаточное условие существования производной.
- •33)Правила вычисления производных от суммы , произведения и частного.
- •35)Производная обратной функции.
- •36) Производная функции заданной параметрически.
- •37)Производная неявно заданной функции.
- •39) Связь между непрерывностью и дифференцируемостью ф-и.
- •40) Определение дифференциала ф-и. Геометрический смысл дифференциала. Правила вычисления дифференциала.
- •43)Повторное дифференцирование в дифференциалах. Нарушение инвариантности формы высших дифференциалов.
- •44) Формула Тейлора для многочлена.
- •45)Формула Тейлора для произвольной ф-и.
- •46)Стандартные разложения. Определение числа e с точностью до 0,001.
- •47) Достаточное усл-е монотонности ф-и.
- •49) Достаточные условия экстремумафункции в точке
- •50) Достаточные условия выпуклости (вогнутости) ф-и. Определение выпуклой и вогнутой ф-и.
- •51) Точки перегиба. Достаточное условие точки перегиба.
- •52) Определение неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.
- •53)Вывести таблицу интегралов из определения неопределенного интеграла .
- •54) Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •55)Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
- •56. Понятие о рациональных и дробно-рациональных функциях. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей.
- •57) Интегрирование простейших дробей.
- •58. Вывод рекуррентной формулы.
- •60. Интегрирование дифференциального бинома. Подстановки Чебышева.
- •61. Подстановки Эйлера.
- •62. Интегрирование тригонометрических функций.
- •63. Определение интеграла Римана. Функции, интегрируемые по Риману.
- •64. Свойства интеграла Римана, выражаемые равенствами.
- •65. Свойства интеграла Римана, выражаемые равенствами.
- •66. Основная теорема интегрального исчисления.
- •67. Замена переменной в определенном интеграле.
- •68) Интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •69) Вычисление площадей плоских фигур в декартовых координатах.
- •70) Площадь плоской фигуры в параметрическом виде.
- •71) Площадь плоской фигуры в полярных координатах.
- •72. Вычисление длины дуги в декартовых координатах.
- •73. Вычисление длины дуги в параметрическом виде.
- •74. Вычисление длины дуги в полярных координатах.
- •75) Понятия о двух типах несобственных интегралов
4)Определение функции, основные свойства функции.
Опред.: пусть даны два непустых мн-ва EcR и YcR. Закон f, по которому каждому эл-ту xϵE ставится в соответствие один и только один эл-нт yϵY назыв. функцией или отображением мн-ва Е на мн-во Y и обозначается y=f(x) или f:E→Y.
Мн-во Е назыв. областью определения ф-ии, а мн-во Y – мн-вом значений. При этом х назыв. аргументом или независимой переменной, а y – функцией или завис. переменной.
Если обл. опред. не указана. То она совпадает со мн-вом допустимых значений.
Основные свойства функций.
Опред.1: пусть ф-я y=f(x) определена на симметричном мн-ве [-a, a] (или (-а, а)).
f(x) четная на мн-ве Е, если (xϵE):f(-x)=f(x)
f(x) нечетная на мн-ве Е, если (xϵE):f(-x)=-f(x)
Опред.2: пусть ф-я y=f(x) определена на мн-ве Е. если (x1, x2ϵE):x1<x2 выполн. Нерав-ва:
f(x1)<f(x2) – f(x)-монотонно-возрастающая на мн-ве Е
f(x1)≤f(x2) – f(x)-неубывающая на мн-ве Е
f(x1)>f(x2) – f(x)-монотонно-убывающая на мн-ве Е
f(x1)≥f(x2) – f(x)-невозрастающая на мн-ве Е
Опред.3: ф-я y=f(x) назыв. ограниченной на мн-ве Е, если мн-во ее значений (Y) ограниченно на мн-ве Е.
(ƎmϵR)(ƎMϵR)( xϵE):m≤f(x)≤M, в противном случае ф-я назыв. неограниченной.
Опред.4: число М назыв точной верхней гранью ф-и на мн-ве Е, если вып. след. усл-я:
(ƎMϵR)( xϵE):f(x)≤M
(ε>0)(ƎxεϵE):f(xε)>M-ε
и обозначают M=supf(x), xϵЕ
Опред.5: число m назыв. точной нижней границей ф-и f(x) на мн-ве Е, если вып.след.усл-я:
(ƎmϵR)( xϵE):f(x)≥m
(ε>0)(ƎxεϵE):f(xε)<m+ε
и обозначают m=inf(x), xϵE.
Ф-я y=f(x) назыв. периодической на мн-ве Е, если (ƎT>0, TϵR) (xϵE):f(x+T)=f(x), где Т-период ф-и.
Если Т-период, то mT, m=±1. ±2, … - периоды f(x), за основной период ф-и принимают наименьшее положит. число.
y=sinX. ±2П,±4П, ±6П – периоды. Т=2П – основной период
________________________________________________________________________
5)Обратные функции, основные свойства функции.
Опред.: пусть на мн-ве Е задана ф-я y=f(x) и Y-ее мн-во значений. Если каждому эл-ту yϵY по закону g ставится в соответствие единственное число xϵE, то говорят, что на мн-ве Y задана обратная ф-я и обозначают x=g(y)=f-1(x). Ф-ю y=f(x) назыв. прямой ф-ей.
y=f(x), E – обл. опред., Y – мн-во знач.
x=g(y), Y – обл. опред., E – мн-во знач.
Понятие сложной функции.
Опред.: пусть ф-я y=f(x) определена при uϵD, а ф-я u=φ(x) определена на мн-ве Е(xϵE), причем (xϵE): u=φ(x)ϵD. Тогда говорят, что на мн-ве Е задана ф-я y=(φ(x)), которая назыв. сложной ф-ей или суперпозицией ф-й, при этом обл. опред. сложной ф-и будем назыв. мн-во значений х, при которых определяется ф-и f и ф и мн-во знач. Ф-й ф(х) явл. обл. опред. ф-и f.
________________________________________________________________________
6)Определение числовой последовательности и ее предела.
Опред.1: Пусть EϵR – произвольное непустое мн-во. Отображение f мн-ва натер. чисел на мн-во Е назыв. числовой последовательностью и обозначается xn=f(n), т.е. числовая послед-ть – ф-я натурального элемента.
Для числовой последовательности важно, что это бесконечное мн-во, т.е. числ. послед-ть содержит бесконечное число эл-тов.
Числ. послед-ть – это упорядоченное мн-во, т.к. эл-ты данного мн-ва следуют в порядке возрастания n. При этом эл-нт xn стоит за xn-1 и перед xn+1.
Опред.2: Число aϵR назыв. пределом числ. послед-ти xn, если для каждого положительного числа ε, сколь бы мало оно не было, существует такой номер N(ε)ϵN, что все эл-ты послед-ти xn, номера которого n> N(ε) удовлетворяет неравенству |xn-a|<ε.
(ε>0)(ƎN(ε)ϵN) (nϵN, n> N(ε)):|xn-a|<ε
И тот факт, что a явл. членом числ. послед-ти n=а или xn→a. Числовая послед-ть в этом случае назыв. сходящейся. Если указанный предел не существует или равен ∞, то числ. послед-ть назыв расходящейся.
Если ε уменьшается, то номер N(ε)-увеличивается. И в любой сколь угодно малой окр-ти лежит бесконечное число эл-тов.
Точка а – предельная точка(точка сгущения).
Если номер N(ε) – отриц., это означает, что все эл-ты послед-ти лежат в выбранной ε-окр-ти точки а.
________________________________________________________________________