11. Экономическая интерпретация систем линейных уравнений

Пусть производится n видов продукции, для чего используется m видов сырья. Пусть известны величины:

Xij – количество ресурса i-того вида,

необходимого для производства продукции j-того вида, а также известны:

• bi –общий расход i-того ресурса

• aj – количество произведенной продукции j-того вида.

Матрица X – матрица затрат:

x₁₁ x₁₂ …. x_1n

X = x₂₁ x₂₂ …. x_2n

………………

x_m1 x_{m2 ..…..}x_mn

Матрица А – матрица выпуска продукции. Матрица В – объем ресурсов.

a₁ b₁

a₂ b₂

A= … B= … .

a_n b_m

В матрице Х элементы 1-й строки (например) обозначают затраты ресурса 1-го вида на производство единицы продукции различных видов, а элементы 1-го столбца – затраты ресурсов различных видов на производство единицы продукции 1-го вида.

В этом случае соотношение между израсходованными ресурсами и произведенной продукцией можно записать в виде матричного уравнения:

X*A=B

Это есть не что иное, как система линейных уравнений с n-неизвестными. С ее помощью решаются экономические задачи планирования производства продукции.

3. Элементы векторной алгебры

   1. Основные понятия

Все величины математики разделяются на скалярные и векторные.

Скалярными называются величины, которые полностью определяются при помощи числа, полученного в результате их измерения однозначной величиной, принятой за эталон (единицу эталона).

Векторными называются величины, для которых кроме числовых значений их размера необходимо указывать их направление в пространстве (скорость, сила).

Для геометрического изображения векторных величин служат направленные отрезки, т.е. отрезки, имеющие фиксированное направление в пространстве.

Вектором называют направленный отрезок, у которого указывают начало и конец.

B



A

AB или  - обозначают вектор.

Длинойвектора называют длину направленного отрезка.

Вектор называется нулевым, если его длина равна 0. Для нулевого вектора, естественно, нет определенного направления.

Два вектора называются равными, если равны их длины и они одинаково направлены.

Два вектора называются противоположными если их длины равны, а направления противоположны.

Два вектора называются коллинеарными, если эти вектора лежат на одной прямой или на параллельных прямых. тогда угол между коллинеарными векторами равен 180^о или 0⁰ (  b ).

Три вектора называются компланарными, если эти вектора лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях.

Ортом называется вектор единичной длины.

2. Действия над векторами

Суммой векторов А и В называют вектор С:

• начало которого совпадает с началом вектора А,

• конец совпадает с концом вектораВ,

• при условии, что конец вектораА и начало вектора В совпадают.

Правило треугольника: Правило параллелограмма:

 b   + b

 + b b

Разностью векторов А и В называют такой вектор С, который в сумме с

векторомВ даст вектор А.

  - b

b

Умножение вектора на число, отличное от нуля. При умножении вектора А на число  получаем вектор С, который коллиниарен вектору А, а длина его будет равна

| C |= |  | * | A |

Если >0, то С сонаправлен с А .

Если  < 0, то С и А имеют противоположное направление:

 - 2* 

2*