5. Угол между двумя прямыми

Y

l₂ Пусть заданы две прямые:

 l₁ l₁ : y = k₁ * x + b₁ ;

l₂ : y = k₂ * x + b₂ ;

 = (l₁,l₂) ,  = ₂ - ₁

₁ ₂ 0    /2

X tg  = tg (₂ - ₁ ) =

= (tg ₂ – tg ₁ )/(1 + tg ₁ * tg ₂ )=

=  (k₂ – k₁ )/(1 + k₁ * k₂ ) 

Знак модуля необходим для случая, когда  тупой.

 = arctg ((k₂ – k₁ )/(1 + k₁ * k₂ ) )

6. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Пусть даны две прямые:

l₁ : y = k₁ * x + b₁

l₂ : y = k₂ * x + b₂

1) l₁  l₂ тогда угол между прямыми  = 0 и tg  =0, а следовательно:

(k₂ – k₁ )/(1 + k₁ * k₂ ) = 0 откуда: (k₂ – k₁ )= 0, т.е. k₂ = k₁ ;

l₁  l₂ k₂ = k₁

2) l₁  l₂ тогда угол между прямыми  = 90⁰ и tg  - не существует

т.о. (1 + k₁ * k₂ ) = 0 , откуда k₁ = - 1/k₂ ;

l₁  l₂ k₁ * k₂ =  1

7. Общее уравнение прямой

Теорема: Любая прямая на плоскости есть множество точек, координаты которых удовлетворяют соотношению:

A*x+B*y+C = 0

где A, B и C - числа, которые все одновременно не равны 0.

Данное уравнение называют общим уравнением прямой:

A*x+B*y+C =0 (1)

Доказательство: Известно, что если прямая не перпендикулярна OX, то ее уравнение можно записать как уравнение прямой с угловым коэффициентом “k”.

Преобразовав уравнение A*x+B*y+C=0 легко показать, что это уравнение задает на плоскости прямую:

y = - (A/B)*x – C/B, а это уравнение прямой с угловым коэффициентом, где : k = - (A/B); b = – C/B

что и требовалось доказать.

8. Частные случаи общего уравнения прямой

1) Если в общем уравнении коэффициент С=0,

то прямая проходит через O(0,0).

2) Если в общем уравнении коэффициент А=0,

то прямая параллельна оси OX.

3) Если в общем уравнении коэффициент В=0,

то прямая параллельна оси OY.

4) Если в общем уравнении коэффициенты А=С=0,

то это уравнение оси OX.

5) Если в общем уравнении коэффициенты В=С=0,

то это уравнение оси OY.

9. Уравнение прямой на плоскости в отрезках

Пусть дана прямая линия l: A*x + B*y + C = 0

Преобразуем данное уравнение:

A*x + B*y = - C , (A/-C)*x + (B/-C)*y = 1, откуда

x/a + y/b = 1 - уравнение прямой в отрезках,

где a = - C/A b = - C/B.

Модули коэффициентов a и b равны длинам отрезков, которые отсекает прямая на осях.

10. Расстояние от точки до прямой

Даны: прямая A*x + B*y + C = 0

и точка M(x₁,y₁), не принадлежащая прямой

M(x₁,y₁)

d Тогда расстояние от точки до прямой

d = | A*x₁ + B*y₁ + C|/ A² + B²

Знак модуля необходим, поскольку выражение A*x₁ + B*y₁ + C может дать отрицательный результат, а расстояние может быть только положительным.

2. Уравнение плоскости в пространстве

Пусть в пространстве задана произвольная плоскость , которая проходит через точку M₀(x₀,y₀,z₀) при этом N=(A,B,C) – нормальный вектор, т.е. ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости.

Z

Через некоторую точку, перпендикулярную

М₀ заданному вектору, можно провести плос-

N кость единственным образом:

Y

M 0  A*(x-x₀) + B*(y-y₀) + C*(z-z₀) = 0

либо:

X A*x + B*y + C*z + D = 0,

где: D = - A*x₀ - B*y₀ - C*z₀

Данное уравнение является общим уравнением плоскости в пространстве.

Доказательство: Пусть M(x,y,z) - произвольная точка плоскости.

тогда M₀M = (x-x₀, y-y₀, z-z₀) и

M M₀M  N M₀M*N = 0 A*(x-x₀)+B*(y-y₀)+C*(z-z₀)=0