5. Экономическая интерпретация действий над матрицами

Пусть имеется n-видов товара, причем известны их цены.

Pi – цена соответствующего товара (i=1,2,3,….n).

Xi – приобретенное количество соответствующего товара.

Запишем это в виде матриц-столбцов.

P₁ X₁

P₂ X₂

P = …. X = …..

Pn Xn

Используя эти матрицы, стоимость всех приобретенных товаров можно определить с помощью произведения следующих матриц:

X₁ n

P^T * X = ( P₁ P₂ …..Pn ) * X₂ = P₁*X₁+P₂*X₂+….+Pn*Xn = Pi*Xi

…. i=1

Xn

Допустим, что товары данного вида приобрели K покупателей. Обозначим Xij – количество товара i-того вида, приобретенное j-тым покупателем.

Здесь i=1,2,….n; j=1,2,….k. Введем матрицу:

x₁₁ x₁₂ x₁₃ …… x_1k

x₂₁ x₂₂ x₂₃ …… x_2k

X = …………………………….

X_n1 x_n2 x_n3 …… x_nk

Элементы j-того столбца матрицы представляют собой кол-во различных товаров, приобр. j–тым покупателем., а элементы i-той строки представляют собой количество товара i-того вида, приобретенных различными покупателями.

Произведение матриц Р^Т*Х будет являться вектором-столбцом, все элементы которого представляют собой затраты каждого покупателя.

6. Системы линейных уравнений

Определение. Уравнение вида а₁₁*х₁+а₁₂*х₂+….+а_1n*х_n=b₁ (1) называют линейным алгебраическим уравнением с n-неизвестными , где

а_11, а_12,…. а_1n, b₁ - заданные числа (известные).

х_1, х_2,…, х_n - неизвестные числа.

Определение. Упорядоченный набор чисел k₁,k₂,…k_n называют решением уравнения (1), если при подстановке этих чисел в уравнение (1) вместо неизвестных х_1, х_2,…, х_n в соответствии с равными индексами, мы получаем верное равенство.

Определение. Системой m линейных уравнений с n неизвестными называют систему вида:

а₁₁*х₁+а₁₂*х₂+….+а_1n*х_n=b₁

а₂₁*х₁+а₂₂*х₂+….+а_2n*х_n=b₂

_{……………………………………….} (2)

а_m1*х₁+а_m2*х₂+….+а_mn*х_n=b_m

Определение. Упорядоченный набор чисел k₁,k₂,…k_n называют решением системы (2), если этот набор чисел является решением каждого уравнения этой системы.

Определение. Две линейные системы называются равносильными, если они имеют одни и те же решения.

Определение. Систему линейных уравнений называют совместной, если она имеет хотя бы одно решение,

Несовместной - если она не имеет решений.

Определение. Совместная система линейных уравнений называется определенной, если она имеет только одно решение.

Система является неопределенной, если она имеет более одного решения.

7. Решение систем линейных уравнений при помощи формул Крамера

Рассмотрим систему из 3-х линейных уравнений с 3-мя неизвестными.

а₁₁*х₁+а₁₂*х₂+а₁₃*х₃=b₁

а₂₁*х₁+а₂₂*х₂+а₂₃*х₃=b₂

а₃₁*х₁+а₃₂*х₂+а₃₃*х₃=b₃

Введем обозначения: за определитель  обозначим определитель, состоящий из коэффициентов при неизвестных. В определителях ₁, ₂, ₃ соответствующий столбец коэффициентов заменен столбцом свободных членов уравнений:

а₁₁ а₁₂ а₁₃ b₁ а₁₂ а₁₃

= а₂₁ а₂₂ а_{23 ,} ₁= b₂ а₂₂ а_{23 ,}

а₃₁ а₃₂ а₃₃ b₃ а₃₂ а₃₃

а₁₁ b₁ а₁₃ а₁₁ а₁₂ b₁

₂= а₂₁ b₂ а_{23 ,} ₃= а₂₁ а₂₂ b₂

а₃₁ b₃ а₃₃ а₃₁ а₃₂ b₃

Теорема: если определитель  отличен от 0, то данная система линейных уравнений имеет единственное решение, которое находится по следующим формулам:

X₁= ₁/ X₂= ₂/ X₃= ₃/ формулы Крамера.

Доказательство:

Умножим первое уравнение данной системы на А₁₁, второе – на А₂₁, третье – на А₃₁ и все сложим. Получим следующее равенство:

(a₁₁*A₁₁ + a₂₁* A₂₁+ a₃₁* A₃₁ )*X₁ + (a₁₂ * A₁₁+ a₂₂* A₂₁ + a₃₂* A₃₁ ) * X₂ +

+ (a₁₃*A₁₁ + a₂₃* A₂₁ + a₃₃* A₃₁ )*X₃ = (b₁*A₁₁ +b₂*A₂₁ + b₃*A₃₁ ) = ₁

поскольку: (a₁₁*A₁₁ + a₂₁* A₂₁+ a₃₁* A₃₁ ) = 

(a₁₂ * A₁₁+ a₂₂* A₂₁ + a₃₂* A₃₁ ) = 0

(a₁₃*A₁₁ + a₂₃* A₂₁ + a₃₃* A₃₁ ) = 0

X₁ = ₁ и X₁ = ₁ / 

Аналогично получим:

X₂ = ₂ и X₂ = ₂ /  , если домножим на A₁₂; A₂₂; A₃₂ .

X₃ = ₃ и X₃ = ₃ /  , если домножим на A₁₃; A₂₃; A₃₃ .

Верность решения доказана.

Пример:

x+ 2*y + z = 4 1 2 1

3* х - 5*y+3*z = 1 ;  = 3 -5 3 = 5+12+21+10-21+6 =

2*х + 7*y – z = 8 2 7 -1 = 33

4 2 1

₁= 1 -5 3 = 20+7+48+40-84+2=33 x = ₁ /  = 33/33 = 1

8 7 -1

1 4 1

₂= 3 1 3 = -1+24+24-2-24+12=33 y = ₂ /  = 33/33 = 1

2 8 -1

1 2 4

₃= 3 -5 1 = -40+84+4+40-7-48=33 z = ₃ /  = 33/33 = 1

2 7 8

Следствие: если определитель  равен 0, то система либо не имеет решений, т.е. несовместна, либо имеет бесконечно много решений, т.е. неопределенная.