2. Линейная алгебра

   1. Определители и их свойства

Определение1: Определителем второго порядка называется число, которое:

• обозначается следующим символом

a₁₁ a₁₂

a₂₁ a₂₂

• и вычисляется по следующей формуле

a₁₁ a₁₂

= a₁₁*a₁₂ – a₂₁*a₁₂ , где a_ij – числа; i, j = 1,2

a₂₁ a₂₂ a_ij – элемент определителя, расположенный в i-той

строке и j-том столбце.

1 2

= 1*4 – 2*3 = 4 – 6 = -2

3 4

Определение2:Определителем третьего порядка называется число, которое обозначается следующим символом и вычисляется по следующей формуле:

a₁₁ a₁₂ a₁₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃ = a₁₁*a₂₂*a₃₃ + a₁₂*a₂₃*a₃₁ + a₂₁*a₃₂ * a₁₃ -

a₃₁ a₃₂ a₃₃ - a₃₁*a₂₂ * a₁₃ – a₂₁*a₁₂ * a₃₃ – a₃₂*a₂₃ * a₁₁

Для более легкого запоминания формул используется правило треугольников:

“ + “ “ – “

* * * * * *

* * * ; * * *

* * * * * *

В соответствии со схемой треугольников вычисляются произведения и, при формировании общей суммы, произведения элементов берутся:

- по главной диагонали и образующим треугольникам со сторонами, параллельными этой диагонали, – со знаком “+”

- по вспомогательной диагонали и образующим треугольникам со сторонами, параллельными этой диагонали, – со знаком “-“

Пример: Вычислить определитель:

1 2 3

0 -1 1 = 1*(-1)*6 + 0*4*3 + 2*(-1) * 3 - 2*(-1) * 3-

2 4 6 - 0*2 * 6 – 4*1*1 = -6 + 0 + 4 + 6 – 0 – 4 = 0

Определение: Определитель первого порядка равен непосредственно своему единственному элементу: | a₁₁ | = a₁₁ .

Определение: Минором элемента a_ij некоторого определителя называют определитель, который обозначают М_ij и получают из данного определителя, вычеркиванием i – строки и j-того столбца.

a₁₁ a₁₂ a₁₃

Для определителя:  = a₂₁ a₂₂ a₂₃ получим:

A₃₁ a₃₂ a₃₃

a₂₂ a₂₃ a₂₁ a₂₃ a₂₁ a₂₂

M₁₁ = a₃₂ a₃₃ M₁₂ = a₃₁ a₃₃ M₁₃ = a₃₁ a₃₂

и так далее.

Для представленного выше примера:

1 3 1 2

M₂₂ = 2 6 = 1*6 – 2*3 = 0 , M₂₃ = 2 4 = 1*4 – 2*2 = 0.

Определение: Алгебраическим дополнением элемента a_ij называют число А_ij, которое вычисляют по следующей формуле

А_ij = (-1)^(i+j) * М_ij

2. Свойства определителей

1. Если в определителе поменять местами строки и столбцы с одинаковыми номерами, то значение определителя при этом не изменится (справедливо как для определителя 2-го порядка, так и 3-го).

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₁ a₂₁ a₃₁

a₂₁ a₂₂ a₂₃ = a₁₂ a₂₂ a₃₂

a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₁₃ a₂₃ a₃₃

Это свойство легко доказывается, если подсчитать значения определителей слева и справа.

2. Если в определителе поменять местами две строки или два столбца, то значение определителя изменит свой знак на противоположный.

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃ =  a₁₁ a₁₂ a₁₃

a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃

3. Если в определителе есть две одинаковые строки или столбца, то этот определитель равен нулю.

4. Если элементы какой либо строки или столбца, имеют общий числовой множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя.

*a *b a b

= *

c d c d

5. Если в определителе элементы двух строк или столбцов пропорциональны, то определитель равен НУЛЮ.

*a *b

a b = 0

6. Если в определителе элементы какой-либо строки или столбца представляют собой сумму 2-х слагаемых, то данный определитель можно записать в виде суммы двух определителей.

a₁₁ + a’₁₁ a₁₂ + a’₁₂ a₁₃ + a’₁₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃ =

a₃₁ a₃₂ a₃₃

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a’₁₁ a’₁₂ a’₁₃

= a₂₁ a₂₂ a₂₃ + a₂₁ a₂₂ a₂₃

a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃

7. Если к элементам какой либо строки или столбца прибавить элементы другой строки или столбца умноженные на число отличное от 0 (нуля), то значение определителя не изменится.

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₁ + *a₂₁ a₁₂ + *a₂₂ a₁₃+*a₂₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃ = a₂₁ a₂₂ a₂₃

a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃

8. Разложение определителя по строке или столбцу. Любой определитель равен сумме произведений элементов какой либо строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

a₁₁ a₁₂ a₁₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃ = a₁₁*A₁₁ + a₁₂*A₁₂* + a₁₃ *A₁₃ =

a₃₁ a₃₂ a₃₃ = a₁₂*A₁₂ + a₂₂*A₂₂* + a₃₂ *A₃₂ = ………..

Доказательство:

a₁₁ a₁₂ a₁₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃ = a₁₁*a₂₂*a₃₃ + a₁₂*a₂₃*a₃₁ + a₂₁*a₃₂ * a₁₃ -

a₃₁ a₃₂ a₃₃ - a₃₁*a₂₂ * a₁₃ – a₂₁*a₁₂ * a₃₃ – a₃₂*a₂₃ * a₁₁ =

= a₁₁*(a₂₂*a₃₃ - a₃₂*a₂₃) - a₁₂*(a₂₁*a₃₃ - a₂₃*a₃₁) + a₁₃ *(a₂₁*a₃₂ – a₃₁*a₂₂ ) =

= a₁₁*A₁₁ + a₁₂*A₁₂ + a₁₃ *A₁₃

Пример:

1 2 3 2 -1

4 2 -1 = 1*A₁₁ + 2*A₁₂ + 3*A₁₃ = 1*(-1)² * 1 1 +

3 1 1

4 -1 4 2

+ 2*(-1)³ * 3 1 + 3 *(-1)⁴ * 3 1 = 1*(2 – (-1)) +

2*(-1) * (4+3) + 3*(4 – 6) = 3 – 14 – 6 = - 17

9. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю.

a₁₁*A₂₁ + a₁₂*A₂₂* + a₁₃ *A₂₃ = 0

Определение: Определителем n-ого порядка называется число, которое обозначается следующим символом и вычисляется по существующей формуле:

a₁₁ a₁₂ a₁₃ …… a_1n

a₂₁ a₂₂ a₂₃ …… a_2n

……………………………. = a₁₁*A₁₁ + a₁₂*A₁₂* +……. + a_1n *A_1n

a_n1 a_n2 a_n3 …… a_nn

Пример: Вычислить определитель 4-го порядка :

1 2 3 4

0 1 3 -1 1 3 -1

2 0 1 -2 = 1 * 0 1 -2 -

1 2 3 1 2 3 1

0 3 -1 0 1 -1 0 1 3

- 2 * 2 1 -2 + 3 * 2 0 -2 - 4 * 2 0 1 =

1 3 1 1 2 1 1 2 3

= 1*(-3) – 2*(-17) +3*(-8) – 4*7 = - 3 + 34 – 24 – 28 = - 21