8. Решение систем линейных уравнений матричным способом

Рассмотрим систему:

а₁₁*х₁+а₁₂*х₂+а₁₃*х₃=b₁

а₂₁*х₁+а₂₂*х₂+а₂₃*х₃=b₂

а₃₁*х₁+а₃₂*х₂+а₃₃*х₃=b₃

Данную систему можно записать в матричной форме следующим образом:

A*X=B где А- основная матрица системы, составленная из коэффициентов при неизвестных

X – матрица-столбец, составленная из неизвестных

B – матрица-столбец, составленная из свободных членов.

a₁₁ a₁₂ a₁₃ x₁ b₁

A = a₂₁ a₂₂ a₂₃ , X = x₂ , B = b₂

a₃₁ a₃₂ a₃₃ x₃ b₃

Теорема: Если матрица А невырожденная, т.е. ее определитель А отличен от нуля, то наша система имеет единственное решение, которое можно записать следующим образом:

X=A^-1*B

Доказательство:

Т.к. матрица А имеет определитель отличный от 0, то для нее существует обратная матрица А^-1 . Нашу систему мы записали в матричной форме. Домножим обе части системы слева на матрицу А^-1.

A^-1*A*X=A^-1*B , тогда Е*X= A^-1*B или

X= A^-1*B теорема доказана

Пример:

2*x₁ +3*x₂ = 5 2 3

x₁ - x₂ = 0 X=A^-1*B A = 1 -1 = -5;

A₁₁ = -1 A₁₂=-1 A₂₁=-3 A₂₂=2

-1 -3

A^-1 = -(1/5) * -1 2

-1 -3 5 -5 -0 -5

X = -(1/5) * -1 2 * 0 = -(1/5) * -5 0 = -(1/5) * -5 =

1 x₁ = 1

= 1 ; x₂ = 1

9. Линейные системы общего вида

Рассмотрим систему линейных уравнений с n-неизвестными

а₁₁*х₁+а₁₂*х₂+….+а_1n*х_n=b₁

а₂₁*х₁+а₂₂*х₂+….+а_2n*х_n=b₂

_{……………………………………………} (1)

а_m1*х₁+а_m2*х₂+….+а_mn*х_n=b_m

Основной матрицейданной системы является матрица

а₁₁ а_{12 ..…} а_{1n .}

а₂₁ а_{22 ….} а_2n

A = ………………

а_m1 а_{m2 …...}а_mn

Матрица, которая получается из основной матрицы посредством добавления столбца свободных членов, называется расширенной матрицей:

а₁₁ а_{12 ……} а_1n b₁

а₂₁ а_{22 …...} а_2n b₂

A = ……….…………._.

а_m1 а_{m2 …...}а_mn b_m

Систему (1) можно записать в виде: A*X=B , где:

x₁ b₁

x₂ b₂

X= … B = …

x_n b_m

Определение: Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие преобразования:

1. Умножение любого уравнения системы на число отличное от нуля.

2. Прибавление к одному из уравнений системы другого ее уравнения, умноженного на произвольное число отличное от нуля.

3. Перестановкаместами 2-х уравнений.

При элементарных преобразованиях системы линейных уравнений те же преобразования производятся над расширенной матрицей системы.

Определение: Эквивалентными системами линейных уравнений называются системы, которые получаются одна из другой посредством элементарных преобразований.

Определение: Минором матрицы называется определитель, образованный элементами этой матрицы, который получается из данной матрицы посредством выделения определенного равного числа строк и столбцов. Порядком минора называется порядок определителя (число строк определителя).

Примеры: 1 2 3 1 2

A = 2 8 9 M₂ = 4 5 - минор 2-го порядка.

4 5 7

M₁ = 1 - минор 1-го порядка.

Определение: Рангом матрицы называется наибольший порядок минора матрицы, отличного от нуля. r(A) – ранг матрицы

Пример: 1 2 3

A = 4 5 6 определим ранг:

2 4 6

1 2 3 1 2

M₃= 4 5 6 =0 M₂= 4 5 =1*5-4*2=-3

2 4 6

т.о. r(A)=2 - ранг матрицы равен 2

Определение: Базисным минором матрицы называется любой ее минор, порядок которого совпадает с рангом матрицы.

Теорема: При элементарных преобразованиях матрицы ее ранг не меняется.

Определение: Ступенчатой матрицей называется матрица, которая имеет ступеньку из 0 (нулей), удовлетворяющую определенным свойствам (см. пример).

Примеры:

1 2 3

С = 0 1 4 - ступенчатая матрица r(C)=3

0 0 5

1 2 4 5

D = 0 0 1 2 - ступенчатая матрица r(D)=3

0 0 0 4

Теорема: Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.

Теорема: Любую матрицу при помощи элементарных преобразований можно привести к ступенчатой.

Пример:

1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2

А = 2 0 1 3 ~ 0 -6 -1 -1 ~ 0 -6 -1 -1

3 3 2 4 0 -6 -1 -2 0 0 0 -1

При первом преобразовании:

- каждый элемент второй строки складываем с соответствующим элементом первой строки умноженным на (-2)

- каждый элемент третьей строки складываем с соответствующим элементом первой строки умноженным на (-3)

При втором преобразовании:

- каждый элемент третьей строки складываем с соответствующим элементом второй строки умноженным на (-1)

Теорема (критерий совместности Кронекера-Капелли): Система линейных уравнений совместна (имеет решения) тогда и только тогда, когда ранг ее основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.

r(A)=r( A )

Следствие: Если ранги не равны, то системы соответственно не имеют решений.

Теорема (критерий определенности) : Совместная система линейных уравнений будет определенной, если ранг ее основной матрицы равен числу неизвестных переменных.

Следствие: Если ранг основной матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений, т.е. она неопределенная система.