44

1. Основные математические понятия и обозначения

Одним из основных математических понятий является понятие множества.

Определение: Множеством называют совокупность каких-то объектов, объединенных по некоторому правилу или признаку.

Примерымножеств: - натуральные числа, целые числа, действительные числа.

Определение: Объекты, которые входят в состав множества, называют элементами данного множества.

Обычно множества обозначаются большими латинскими буквами (A, B, C), а их элементы – малыми (a, b, c).

Определение: Множество, которое имеет конечное число элементов – именуется конечным множеством; бесконечное - бесконечным.

Обычно любое множество задается некоторым свойством, т.е. таким свойством, которым обладают только элементы данного множества, например: M=a,b,c,d- некоторое множество.

Множество натуральных четных чисел: N₂={2*n, где nN}

Определение:Множество, которое не содержит ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается 0

1. Множества чисел и их обозначения

N - множество натуральных чисел- {1,2,3,…, n,….}

Z - множество целых чисел {…-3,-2,-1,0,1,2,……….}

Q - множество рациональных чисел – это те числа, которые можно представить в виде дроби m/n, где m -принадлежит множеству целых чисел, а n - множеству натуральных чисел

Q={m/n, mZ, nN}

Иррациональные числа: J={ 2, 3, , e, …..}

Множество действительных чисел: R=Q U J

Множество комплексных чисел:

C={a+i*b; i=-1, a, bR}

Любое множество графически можно изобразить в виде круга (диаграммы Эйлера-Венна):

А

Определение: Множество В называется подмножеством множества А , (В  А), если любой элемент множества В, является элементом множества А.

A

B В  А

2. Основные операции над множествами

1. Сумма (Объединение) двух множеств А и В называется такое множество, которое состоит только из тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.

В виде характеристического свойства - А U В={x, xA или xB}

Если изображают

ввиде круговA B А U В

Пример:

А={1,2,3} B={2,4,5} А U В={1,2,3,4,5}

2. Произведение (Пересечение) двух множеств А и В состоит из тех элементов, которые одновременно принадлежат и множеству А и множеству В: А  В={x, xA и xB}

для рассмотренного

выше примера:A B А  В

А  В={2}

3. Разность двух множеств А и В (обозначается А\В) – называется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В

А\В={x, xA и x B} A B А\В

Для рассмотренного выше

примера:

А\В={1,3}

3. Логические символы

Для краткости записи, вместо слов: существует, найдется, будет использован символ ,

вместо слов любой, каждый, всякий .

Примеры: x, x+1N ; xX,X:2

4. Специальные математические символы

Для краткости записи произведения первых n-натуральных чисел вводят:

1*2*3*4*……..* n = n! , n –факториал.

1!=1 , 2!=1*2=2 , 5!=1*2*3*4*5=120,

0!=1 0-факториал.

Для краткости записи суммы и произведения будем использовать символы:

n 

сумма a_i = a₁+a₂+a₃+….+a_n ; a_i = a₁+a₂+…+a_n +...;

i=1 i=1

n

Произведение  a_i = a₁*a₂*a₃*….*a_n

i=1