ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №9

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ КРУЧЕНИЯ НИТИ И МОМЕНТА ИНЕРЦИИ СИСТЕМЫ, СОВЕРШАЮЩЕЙ КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Цель работы – изучить законы динамики вращательного движения твёрдого тела и законы сохранения момента импульса и энергии; определить момент инерции крутильного маятника и модуль кручения нити по результатам исследования неупругого соударения математического и крутильного маятников.

Приборы и принадлежности: крутильный маятник, математический маятник, секундомер.

Краткие сведения из теории

Крутильным маятником называется твёрдое тело, подвешенное на упругой нити, которое может совершать колебания вращательного характера под воздействием момента упругих сил, возни-

кающих в нити. При повороте тела на угол нить, на которой подвешен маятник, закрутится, и возникнет крутящий момент Mк упругих сил, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия:

здесь k – модуль кручения нити, численно равный величине крутящего момента относительно оси вращения, приходящегося на единичный угол закручивания (в литературе можно встретить и другое название этой величины – «крутильная жёсткость нити»). Опыт показывает, что уравнение (9.1) выполняется для достаточно большого диапазона изменения угла закручивания, до тех пор, пока деформация сдвига остаётся упругой. Знак «–» указывает на то, что направление крутящегося момента противоположно направлению угла закручивания.

Уравнение динамики вращательного движения маятника относительно неподвижной оси ОО1 с учётом (9.1) можно записать как

70

то уравнение движения крутильного маятника (9.2) можно переписать так: 02 0 . Это – дифференциальное уравнение коле-

баний, решение которого можно представить в виде0 cos( 0t ) , где 0 – амплитудное значение угла закручи-

видно, что максимальное значение угловой скорости вращения маятника равно:

В работе используется крутильный маятник с большим моментом инерции I , а значит, и с большим периодом собственных колебаний T0. Это приводит к тому, что при кратковременном воздействии внешней силы (tдейств<< T0) маятник не успевает заметно сместиться из положения равновесия, однако будет обладать ускорением. По окончании действия силы маятник приобретёт ско-

71

рость, пропорциональную импульсу силы. Такой режим колебаний (как и сам маятник) называется баллистическим.

В качестве тела, осуществляющего кратковременное воздействие на исследуемый крутильный маятник, можно использовать массивный шарик (масса шарика m, радиус rш), подвешенный на лёгком стержне длиной l. При условии l >> rш,

m >> mстержня эту систему можно считать математическим маятником.

Математический маятник совершает колебания в вертикальной плоскости под действием возвращающей силы

F mg sin (рис. 9.1).

Исследуемый крутильный маятник представляет собой два металлических стержня, соединённых между собой под углом 90°. (рис. 9.2). На концах горизонтального стержня укреплены два диска, расположенные в вертикальной плоскости. Выведенный из положения равновесия шарик ударяется о диск Д2, в результате чего крутильный маятник начинает совершать колебания. Скорость

шарика к после соударения с диском может быть найдена по максимальному углу его отклонения к после удара:

72

Рис. 9.2

Применим закон сохранения момента импульса относительно неподвижной оси ОО1 для системы «крутильный–математический маятники». До удара момент импульса системы равен моменту импульса математического маятника относительно оси вращения ОО1 L0 m 0r , где r – расстояние от оси крутильного маятника до

точки удара шарика о диск; 0 – скорость шарика перед ударом.

После соударения момент импульса шарика относительно оси L m кr . Момент импульса крутильного маятника относитель-

но оси сразу после соударения с учётом (9.5) равен:

Lкр I max I 2 0 .

T0

Таким образом, закон сохранения момента импульса системы запишется как

73

m 0r m кr I 2 0 .

T0

Найдем из этого равенства момент инерции крутильного маятника:

I= mr( 0 к )T0 .

2 0

Подставив в это выражение (9.6) и (9.7), получим

Это соотношение, где угол 0 должен быть выражен, как все-

гда, в радианах, является расчётным для момента инерции крутильного маятника.

Масса шарика m, длина подвеса l и расстояние r от оси крутильного маятника до точки соприкосновения с шариком при ударе указаны на установке.

Описание и принцип работы экспериментальной установки

На горизонтальном стержне, кроме дисков Д, имеются цилиндры С, положение которых можно менять, передвигая их вдоль стержня (см. рис. 9.2).

Изменение положений цилиндров С относительно оси вращения крутильного маятника приводит к изменению момента инерции всей системы. К центру горизонтального стержня прикреплён указатель К1, при помощи которого можно измерять углы поворота крутильного маятника. Указатель К1 перемещается по шкале

Ш1, проградуированной в градусах.

Крутильный маятник, как уже было отмечено выше, состоит из двух взаимно перпендикулярных стержней. Вертикальный стержень подвешен на упругой нити, модуль кручения которой требуется определить экспериментально. Что касается теоретического значения модуля кручения, то, согласно теории упругих деформаций, для проволоки круглого сечения радиуса R и длины L модуль кручения равен:

74

где G – модуль сдвига материала проволоки.

Математический маятник представляет собой шарик известной массы m, подвешенный на лёгком стержне длиной l. С шариком скреплён указатель К2, перемещающийся по вертикальной шкале Ш2, по которой определяются углы отклонения шарика от

положения равновесия: 0 и к .

Крутильный и математический маятники расположены так, что выведенный из положения равновесия шарик ударяется о диск крутильного маятника в то момент, когда скорость шарика направлена строго горизонтально.

Порядок выполнения работы

1.Убедиться, что указатели углов К1 и К2 находятся на нулевых делениях своих шкал.

2.Цилиндры С разместить вплотную к дискам Д1 и Д2 и закрепить их.

3.Отклонить математический маятник на угол 0 = (5÷10)° и

отпустить его. Сразу же после удара о диск Д2 отвести горизонтальный стержень крутильного маятника в сторону для того, чтобы диск не мешал шарику совершать свободные колебания. По

шкале Ш2 измерить амплитудное значение угла к . Опыт повторить пять раз с одним и тем же значением 0 .

4. Отклонить шарик математического маятника на тот же угол 0 . Сразу же после удара о диск Д2 поймать шарик и удержи-

вать его в таком положении, чтобы теперь он уже не мешал диску совершать свободные колебания. По шкале Ш1 измерить макси-

мальные углы отклонения крутильного маятника вправо и влево от положения равновесия ( пр и л ). Опыт повторить пять раз. Ре-

зультаты измерений занести в табл. 9.1.

Iср=………

5.Лёгким толчком по диску Д2 привести крутильный маятник

вдвижение. Измерить с помощью секундомера время десяти полных качаний маятника и вычислить период собственных колеба-

ний T0 ti 10 .

6. Цилиндры С переместить вплотную к вертикальному стержню крутильного маятника. Повторить пп. 2–5. Данные занести в таблицу, аналогичную табл. 9.1.

Обработка и анализ результатов измерений

Для обоих положений грузов на стержне маятника (см. пп. 2

и6) расчеты проводятся по следующей схеме:

1.Для каждого из пяти значений к и 0 по формуле (9.8)

рассчитать значение момента инерции Ii . Найти среднее значение

момента инерции.

2. По среднему значению момента инерции Iср , пользуясь формулой (9.4), определить модуль кручения нити k .

3.Подсчитать погрешность полученных значений моментов инерции как погрешность прямых изменений. Погрешность измерения модуля кручения подсчитать по правилам оценки погрешности косвенных измерений.

4.Сравнить значения модулей кручения, полученные для двух положений подвижных грузов. Проанализировать полученный результат.

5.Используя значения модулей кручения, полученные для двух положений подвижных грузов, рассчитать по формуле (9.9) величины модуля сдвига материала проволоки и сравнить их с таб-

личным значением модуля сдвига для стали: G 8 1010 Н/м2 (длина проволоки и её радиус приведены на установке). Обсудить полученный результат.

Вопросы и задания для допуска к лабораторной работе

1. Дать определение момента инерции и момента импульса материальной точки и твёрдого тела.

76