4.Вычислить среднюю арифметическую скорость «молекул» воздуха по формуле (16.1), молярная масса воздуха M 29 г/моль.

5.Вычислить среднюю длину свободного пробега по форму-

ле 3 . Плотность газа вычисляется по формуле pRT0M .

6. Вычислить эффективный диаметр «молекул» воздуха, пользуясь формулой (16.2). Концентрация молекул может быть

вычислена из формулы p0 nkT .

Вопросы и задания для допуска к лабораторной работе

1.Объяснить на основе молекулярно-кинетической теории природу внутреннего трения. Дать определение средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул.

2.Какие процессы относятся к явлениям переноса? Что выступает «движущей силой» любого явления переноса?

3.Сформулировать коротко суть метода, применяющегося в лабораторной работе, для определения коэффициента вязкости воздуха капиллярным методом.

Вопросы и задания к защите лабораторной работы

1. Получить зависимость коэффициента вязкости от температуры и давления, подставив в формулу 13 соответствую-

щие выражения для всех входящих в неё величин.

2. Идеальный газ состоит из жёстких двухатомных молекул. Как и во сколько раз изменится коэффициент вязкости, если объём газа адиабатически уменьшить в 10 раз?

Библиогр.: [1]; [2, § 128, 129, 132]; [4, § 86, 89]; [5, § 10.6-10.9];

[8].

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 17

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УНИВЕРСАЛЬНОЙ ГАЗОВОЙ ПОСТОЯННОЙ МЕТОДОМ ОТКАЧКИ

127

Цель работы − изучить законы идеального газа, определить универсальную газовую постоянную R .

Приборы и принадлежности: установка ФПТ-1-12, стеклянная колба, электронные весы.

Краткие сведения из теории

Идеальный газ − это газ, молекулы которого имеют исчезающе малые размеры и не взаимодействуют друг с другом. Молекулы газа находятся в беспрерывном хаотическом тепловом движении, сталкиваясь при этом как между собой, так и со стенками сосуда. И те и другие соударения происходят по законам абсолютно упругого удара. Межмолекулярные столкновения играют очень важную роль, так как именно они обеспечивают протекание всех явлений переноса, приводят к равенству средних величин параметров состояния газа (давление p , плотность и температура

T ) по всему объёму (V ) сосуда, однако они не влияют на то давление газа, которое устанавливается благодаря столкновениям молекул со стенками сосуда. Конечно, при столкновениях различных групп молекул между собой они так же воздействуют друг на друга, как и на стенку, – именно так создаётся внутреннее давление газа. Однако, поскольку в состоянии теплового равновесия давление газа по всему объёму сосуда одно и то же, межмолекулярные столкновения при выводе уравнения состояния газа можно не учитывать. Добавим также, что время свободного пробега молекул идеального газа много больше времени столкновений. При этом условии давление газа практически не зависит от взаимодействия молекул.

Состояние газа описывается тремя параметрами, которые связаны между собой определённым законом, называемым уравнением состояния. Его в случае идеального газа несложно получить на основе классической механики и свойств этой модели. Отметим, что уравнение состояния такого модельного газа будет в первом приближении справедливо и для любого реального газа при тех его параметрах, когда силами взаимодействия между молекулами можно пренебречь (как правило, это возможно при умеренных температурах и давлениях). Этим и ценна простейшая модель.

128

Выведем уравнение состояния идеального газа, применяя к его молекулам законы классической механики. Выделим мысленно небольшую площадку S , перпендикулярную оси х (рис. 17.1). Будем для начала считать, что все молекулы имеют одинаковые по величине скорости, тогда при соударении со стенкой каждая молекула передаст ей импульс px m x ( m x ) 2m x (рис. 17.2).

За время t со стенкой столкнутся все те молекулы, которые находятся в объёме V параллелепипеда с площадью основанияS и ребром x t в количестве n V n S t x , где n − число

молекул в единице объёма.

Все направления движения молекул в силу его полной хаотичности равновероятны. Это означает, что вдоль положительного направления оси х движется лишь половина всех находящихся в выделенном объёме молекул, имеющих проекцию скорости x .

Следовательно, за время t с площадкой S столкнётся число

средний импульс: px 0,5n S x t 2m x n S tm 2х . Тогда сила, действующая на стенку, в соответствии со вторым законом

Ньютона определится как Fx px / t n Sm 2х и давление окажется равным: px Fx / S nm 2х .

Закон Паскаля утверждает: «жидкости и газы передают действующее на них извне давление по всем направлениям без измене-

129

ния». В рассматриваемом случае это означает, что px py pz p или p nm 2x .

До сих пор мы для простоты считали, что все молекулы имеют одинаковые скорости, хотя известно, что это не соответствует действительности: скорости молекул газа подчиняются классическому закону статистики − распределению Максвелла. Это распределение базируется на том, что в силу огромности числа молекул газа в состоянии теплового равновесия все три независимых направления их поступательного движения равновероятны и их средняя кинетическая энергия от направления не зависит. Тогда можно запи-

сать: 2x 2y 2z (фактически, это и есть теоретическое обосно-

вание эмпирического закона Паскаля) и, следовательно, 2 3 2x

(черта сверху означает усреднение). В результате приходим к соотношению

Это уравнение называют уравнением молекулярно-кинетичес- кой теории (мкт) идеального газа для давления или основным уравнением мкт для идеального газа. Заметим, что в полном соответствии с определением средних величин квадрат средней

i

обладающих скоростью i .

Если в уравнение (17.1) для давления идеального газа ввести среднюю кинетическую энергию поступательного движения

( (1/ 2)m 2 ) его молекул (энергия вращательного и колебательного движений молекул на давление газа не влияют), то получим

Таким образом, давление, оказываемое идеальным газом, зависит от концентрации газа и средней кинетической энергии, приходящейся на одну молекулу.

Теория предполагает, и опыт подтверждает тот факт, что средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул и интуитивно понимаемая температура ведут себя идентично. Действительно, и та, и другая, будучи вначале разными в различных точках сосуда, в результате межмолекулярных столкновений становятся при достижении теплового равновесия одинаковыми по всему объёму. Так что, в принципе, как отдельный параметр температуру можно было бы и не вводить, а пользоваться единицами измерения энергии. Это, однако, неудобно из практических соображений (хотя в теории очень часто именно так и поступают).

Исходя из теоремы Л. Больцмана о равнораспределении энергии по степеням свободы, в соответствии с которой на каждую из

них приходится одинаковая энергия kT2 , оказалось удобным ввести термодинамическую температуру следующим образом:

где k 1,38·10-23 Дж/К − постоянная Больцмана. С учётом (17.3) уравнение (17.2) может быть переписано в виде

Фактически это и есть уравнение состояния идеального газа. Однако для практических целей его следует преобразовать. Дом-

ножим обе его части на объём V , занимаемый одним молем газа при заданных давлении и температуре:

pV nV kT .

Произведение nV представляет собой полное число моле-

кул в одном моле газа. По закону Авогадро, в одном моле любого вещества содержится одинаковое число NA молекул (NA = 6,02·1023 моль-1). Моль − единица СИ количества вещества, содержащего столько молекул (атомов), сколько их содержится в 0,012 кг изотопа углерода 12С.

131

и, следовательно, R = 8,31 Дж/моль·К.

Если уравнение (17.4) домножить с обеих сторон на объём не одного, а нескольких ( ) молей, то получим уравнение Клапейро-

Все параметры газа, входящие в (17.6), можно измерить непосредственно, за исключением массы газа, так как взвесить газ можно только вместе с сосудом, в котором он находится. Поэтому для определения R из (17.6) необходимо неизвестную массу сосуда (т0) исключить. Это можно сделать, записав систему уравнений

состояния для двух масс m1 и m2 одного и того же газа при неиз-

менных температуре T и объёме V . Тогда для универсальной газовой постоянной получится следующее выражение:

для некоторой массы m1 , заключенной в сосуде объёмом V , а затем изменить эту массу до величины m2 (например, путем откачки) и определить новое давление p2 при той же температуре T ,

18 Входящая в уравнение Клапейрона (1834) постоянная была разной для различных газов. Универсальной она стала только тогда, когда Д.И. Менделеев объединил (1874) уравнение Клапейрона с законом Аво-

гадро (1811).

132

то по формуле (17.7) можно рассчитать универсальную газовую постоянную.

Описание и принцип работы экспериментальной установки

Установка ФПТ-1-12 представляет собой конструкцию настольного типа (рис. 17.3), состоящую из блока управления 1, приборного блока 2, колбы 3 и электронных весов 4.

Рис. 17.3

На лицевой панели приборного блока имеются манометр 5, табло 6 термометра, измеряющего температуру окружающей среды. Сам термометр и компрессор расположены внутри блока. Колба соединяется с компрессором вакуумной трубкой.

Порядок выполнения работы

1. Взвешиванием на электронных весах определить массу колбы с воздухом m0 m1 при давлении p1 p0 : вакуумная

трубка отсоединена от колбы, кран открыт, давление в колбе равно атмосферному p0 . Результаты измерений занести в табл. 17.1.

2.Включить установку тумблером «Сеть». При этом загорится сигнальная лампа.

3.С осторожностью (!) аккуратно подсоединить колбу к свободному концу вакуумной трубки. Включить компрессор кнопкой «Пуск» и, удерживая её нажатой, откачать воздух из колбы до дав-

ления p 0,8 бар (манометр 5 измеряет именно разность давле-

133

ний p p2 p1 0 ). Отпустить кнопку «Пуск» и зафиксировать

показания манометра в момент закрытия крана на колбе. Отсоединив вакуумную трубку, взвесить колбу, определив её массу с воздухом m0 m2 , имеющим остаточное давление p2 . Давление от-

качки p выбирается из диапазона 0,8…0,6 бар (1 бар = 105 Па). Результаты измерений занести в табл. 17.1.

4.Открыть кран колбы.

5.Повторить пп. 3 и 4 ещё девять раз, занося результаты в табл. 17.1.

6.По показаниям термометра на приборном блоке определить температуру воздуха в лаборатории.

7.Открыв кран, соединить колбу с атмосферой, после чего выключить установку тумблером «Сеть».

Обработка и анализ результатов измерений

1. Для каждого проведённого измерения определить массу откачанного воздуха m1 m2 . Результаты занести в табл. 17.1. По

формуле (17.7) вычислить универсальную газовую постоянную R . Молярную массу воздуха принять равной: М = 0,029 кг/моль, объём колбы V указан на установке. Результаты расчётов занести в табл. 17.1.

2. Рассчитать среднюю величину универсальной газовой постоянной R , найти погрешность её определения как погрешность

прямых измерений. Сравнить полученное значение R с табличным.

Вопросы и задания для допуска к лабораторной работе

1. При каких условиях реальные газы могут быть описаны с помощью законов для идеального газа? Записать эти законы.

134

2.В чем заключается закон Авогадро? Каков физический смысл универсальной газовой постоянной R ?

3.Сформулировать коротко суть метода, применяющегося в лабораторной работе, для определения универсальной газовой постоянной R методом откачки.

Вопросы и задания к защите лабораторной работы

1.Доказать, что универсальную газовую постоянную R можно представить как работу расширения 1 моля идеального газа при его нагревании на 1 К при постоянном давлении.

2.Вывести основное уравнение молекулярно-кинетичес- кой теории для идеального газа и уравнение Менделеева–Клапей- рона.

Библиогр.: [1]; [2, § 81, 85, 86]; [4, § 7, 8, 59, 60, 62]; [5, § 8.1-8.4].

Библиографический список

1.Лентовский, В.В. Оценка ошибок результатов измерений / В.В Лентовский; Балт. гос. техн. ун-т. СПб., 2005.

2.Савельев, И.В. Курс общей физики. Т. 1 / И.В. Савельев. СПб.: Лань, 2007.

3.Сивухин, Д.В. Общий курс физики. Т. 1 / Д.В. Сивухин. М.: Физматлит, 2002.

4.Сивухин, Д.В. Общий курс физики. Т. 2 / Д.В. Сивухин. М.: Физматлит, 2002.

5.Детлаф, А.А. Курс физики / А.А. Детлаф, Б.М. Яворский. М.: Академия, 2003.

6.Кильчевский, Н.А. Теория соударений твердых тел / Н.А. Кильчевский. Киев: Наукова думка, 1969. 246 с.

7.Манжосов, В.К. Модели продольного удара / В.К. Манжосов. Ульяновск:

УлГТУ, 2006. 160 с.

8.Фабелинский, И.Л. О макроскопической и молекулярной сдвиговой вязкости

/И.Л. Фабелинский // УФН. 1997. 167, 721–733.

135

Составители: Иванов Дмитрий Юрьевич, Васильева Людмила Ивановна, Иванова Наталья Александровна, Иванова Тайми Валентиновна, Ляхович Дмитрий Николаевич,

Алексеева Ольга Сергеевна, Князева Татьяна Николаевна, Лазарева Юлия Николаевна

Механика и молекулярная физика

Редактор Г.М. Звягина

Корректор Л.А. Петрова Подписано в печать 15.11.2012. Формат бумаги 60х84/16. Бумага документная.

Печать трафаретная. Усл. печ. л. 7,8. Тираж 650 экз. Заказ № 182. Балтийский государственный технический университет 190005, С.-Петербург, 1-я Красноармейская ул., д.1