ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАКОНОВ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Цель работы − экспериментально проверить основной закон динамики вращательного движения твёрдого тела и определить момент инерции маятника Обербека.

Приборы и принадлежности: маятник Обербека FPM-06;

комплект четырёх подвижных грузов массой т; комплект четырёх грузов одинаковой массой m1, укрепляемых на стержнях крестовины маятника (значения масс m и m1 указаны на грузах); блок секундомера FPM-15 (с относительной погрешностью измерения времени 0,02%); миллиметровая шкала (погрешность определения перемещения грузов ±1мм).

Краткие сведения из теории

Основной закон динамики вращательного движения твёрдого тела отвечает уравнению ddtL M , где L − момент импульса тела

относительно некоторой точки, M M k − суммарный момент

k

всех внешних сил, действующих на тело, относительно той же точки. При вращении относительно неподвижной оси z основной

закон вращательного движения принимает вид dLdtz M z , где Lz и M z − проекции момента импульса и момента силы на ось z.

Учитывая, что Lz I , где I − момент инерции тела относительно оси z, ω − угловая скорость вращения тела вокруг этой же

оси, а также то, что ddt − угловое ускорение, получаем основ-

ной закон динамики вращательного движения относительно неподвижной оси в виде

34

I M z .

Записанный в такой форме закон аналогичен второму закону

Ньютона для поступательного движения: ma F . При этом аналогами массы, линейного ускорения и силы являются момент инерции, угловое ускорение и момент силы, соответственно.

Вывод расчётной формулы для экспериментального опре-

деления момента инерции. При экспериментальном определении момента инерции используется маятник Обербека, который представляет собой крестовину с четырьмя закреплёнными на ней на одинаковых расстояниях от

Rоси одинаковыми грузами. На ось крестовины насажен двухступенчатый шкив в виде диска, на который намотана нить с прикреплённым к

ней грузом. С началом движения груза внизT

Вращательный момент, действующий на шкив, создает сила натяжения нити Т1, которая по третьему закону Ньютона равна силе Т: M TR . Тогда уравнение вращательного движения шкива в проекциях на ось z, совпадающую с осью вращения блока, может быть записано в виде

Так как проскальзывание нити по поверхности шкива отсутствует, то тангенциальное ускорение элементов нити, вращающихся вместе со шкивом, равно линейному ускорению груза:

Решив систему уравнений (4.1) - (4.3), получим для момента

35

можно вычислить по измеренным высоте и времени падения груза на основании кинематического соотношения: h at 2 / 2 .

В результате расчётная формула для экспериментального определения момента инерции маятника Обербека примет следующий вид:

Вывод формулы для теоретического вычисления момента инерции. Момент инерции системы, являясь аддитивной величиной, равен сумме моментов инерции всех входящих в систему тел. Маятник Обербека состоит из шкива (включая ось и втулку крестовины), четырёх стержней крестовины и грузов, укреплённых на ней.

Момент инерции I0 шкива указан на установке. Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен m2lС2 / 3 , где m2 − масса стержня без груза, lС − длина стержня (обе

величины указаны на установке). Грузы, укреплённые на крестовине, приближенно можно принять за точечные массы. Тогда момент

инерции каждого груза равен m1l2 , где m1 − масса груза (указана на

установке), l − расстояние от оси вращения до центра массы груза (измеряется при выполнении работы). Теоретический момент инерции после суммирования вычисляется по формуле

Описание и принцип работы экспериментальной установки

36

Внешний вид установки представлен на рис. 4.2. Регулиро-

Порядок выполнения работы

1.Перед началом работы следует убедиться, что крестовина маятника отбалансирована. Для этого необходимо повернуть крестовину, освобождённую от влияния груза 9, на произвольный угол – она должна находиться в положении безразличного равновесия (не двигаться). В противном случае необходимо произвести балансировку крестовины: выставив одну пару стержней крестовины в горизонтальное положение, добиться её безразличного равновесия, слегка смещая грузы на стержнях относительно рисок. Затем таким же путём произвести балансировку грузов на другой паре стержней. Процесс балансировки заканчивается, когда крестовина остаётся в состоянии покоя при её повороте на любой угол относительно оси вращения.

2.Включить установку в сеть.

37

3.Убедиться, что к нити прикреплён только один груз.

4.Намотать нить на шкив 8, а второй конец с грузом перекинуть через диск 6. Груз поднять на высоту h. Нижний край груза должен совпадать с чертой на корпусе верхнего фотодатчика.

5.Нажать кнопку «Пуск» и отпустить груз без толчка. При этом запускается секундомер. Записать отсчёт времени в табл. 4.1.

6.Нажать кнопку «Сброс» и проверить, произошло ли обнуление измерителя.

7.Повторить измерение пять раз, следя за тем, чтобы нить наматывалась на шкив всегда в одном и том же направлении. Занести все значения времени падения в табл. 4.1.

8.Последовательно увеличивая массу падающего груза, повторить пп. 3-7.

tср , с

I, кг·м2

9.Измерить высоту падения груза и длину стержня крестовины. Занести измеренные значения в табл. 4.2. В эту же таблицу занести значения величин, указанных на установке.

Таблица 4.2

R , см

m1 , г

m2 , г

I0 , кг·м2

l , см

h , см

10. Вычислить и занести в табл. 4.1 среднее значение времени падения для каждой массы груза.

38

Обработка и анализ результатов измерений

1.По формуле (4.4) рассчитать значение момента инерции для каждой массы падающего груза, используя среднее время па-

дения, и занести его в табл. 4.1. Для широты Санкт-Петербурга g = (9,82 ± 0,01) м/с2.

2.Рассчитать среднее значение момента инерции и оценить абсолютную и относительную погрешности его определения.

3.По формуле (4.5) вычислить теоретическое значение момента инерции маятника и сравнить его со значением, полученным экспериментально.

каждого груза. Вычисленные значения занести в табл. 4.3. Таблица 4.3

щающего момента для каждой массы груза. Вычисленные значения занести в табл. 4.3.

6.По данным табл. 4.3 построить график зависимости углового ускорения от вращающего момента: f M .

7.Сделать вывод о соответствии зависимости углового ускорения от вращающего момента основному закону динамики вращательного движения. При отрицательном ответе продумать возможные причины отклонения графика от теоретической зависимости.

8.Определить по графику среднее значение момента инерции маятника как котангенс угла наклона прямой к оси абсцисс.

9.Записать окончательные результаты работы: экспериментально полученное значение момента инерции с погрешностью, его теоретическое значение и величину момента инерции, вычис-

. Обсудить возможныеленную по графику зависимости

различия между полученными значениями момента инерции маятника Обербека.

39