6.По полученным графикам определить ординату T T0 точки пересечения кривых Tпр x и Tобр x .

7.По формуле (6.10) рассчитать значение ускорения свободного падения.

8.Сравнить полученные значения ускорения свободного па-

дения как друг с другом, так и с табличным значением для широты Санкт-Петербурга (g0 = 9,82 м/с2). Сделать выводы из проведённого сравнения.

Вопросы и задания для допуска к лабораторной работе

1. Дать определения математического и физического маятни-

ков.

2.Что называется приведённой длиной физического маятника?

3.Сформулировать коротко суть метода, применяющегося в лабораторной работе, для определения ускорения свободного падения с помощью оборотного маятника.

Вопросы и задания к защите лабораторной работы

1.Вывести формулы периода собственных колебаний математического и физического маятников.

2.Доказать, что точка подвеса и центр качаний физического маятника (см. рис. 6.3) являются взаимными, или сопряженными, точками.

3.Как зависит величина ускорения свободного падения от широты местности?

Библиогр.: [1]; [2, § 3, 4, 13, 50, 53, 54]; [5, § 1.2-1.4].

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА

54

55

ного со скоростью, равной скорости центра инерции тела, и вращательного вокруг геометрической оси, проходящей через центр инерции. Движение маятника можно описать двумя динамически-

ми уравнениями: ma F и I M , где m , I , a , и – масса,

момент инерции, ускорение поступательного движения оси и угловое ускорение вращательного движения маятника, соответст-

венно; F и M – равнодействующая и суммарный момент всех

внешних сил, действующих на маятник. Величины I , M и должны быть вычислены относительно оси вращения маятника, проходящей через его центр инерции (см. рис. 7.1). Отметим, что эти уравнения предполагают невесомость и нерастяжимость нитей, а также отсутствие сопротивления воздуха.

Если первое из рассмотренных векторных уравнений спроецировать на направление движения, а второе – на ось вращения,

получим два скалярных уравнения: ma mg 2T, I 2rT , где

Т – сила натяжения каждой нити, участвующая в создании вращающего момента, а r – расстояние от оси вращения до точки приложения силы натяжения. Поскольку нити накручиваются на ось маятника без проскальзывания, то линейное и угловое ускорения связаны известным кинематическим соотношением: a r .

Совместное решение этих трёх уравнений позволяет найти момент инерции маятника:

Imr2 g 1 .

a

Движение оси маятника является равноускоренным движением без начальной скорости, следовательно, a 2St2 , где S – рас-

стояние, которое проходит центр инерции маятника за время t . В результате расчётная формула для определения момента инерции маятника примет вид

внешний радиус цилиндрической оси маятника (см. рис. 7.1).

56

Поскольку одной из целей лабораторной работы является проверка выполнения закона сохранения энергии, найдём выражение

для кинетической энергии (Wк ) маятника в зависимости от време-

чения скорости соответственно поступательного и вращательного

U mgh , где h – расстояние, отсчитываемое от крайнего нижнего

положения маятника. Решив совместно уравнения (7.1) и (7.2), легко убедиться, что полная энергия W маятника, равная сумме его кинетической и потенциальной энергий, в любой момент равна его потенциальной (полной) энергии в верхней точке траектории

( h h0 ) движения: W Wк U mgh0 7.

Вывод теоретической формулы для расчёта момента инерции маятника. Момент инерции любого тела складывается из моментов инерции его частей. В отличие от простейшего маятника Максвелла (см. рис. 7.1) устройство, использующееся в нашей лаборатории, представляет собой более сложную конструкцию: его диск состоит из двух цилиндрических колец, насаженных

друг на друга. Внешнее кольцо (масса m1 , внешний радиус R1 , внутренний R2 ) выполнено съёмным, что позволяет при желании менять момент инерции маятника. Внутреннее кольцо (масса m2 , внешний радиус R2 , внутренний r1 ) плотно насажено на ось в виде цилиндра (в одних случаях – полого, с внешним радиусом r1 , внутренним r2 и массой m3 , в других – сплошного, с радиусом r1 и массой m4 ). Момент инерции как полого, так и сплошного ци-

линдра относительно оси симметрии не зависит от его высоты (длины). Таким образом, можно считать, что момент инерции ма-

7 Докажите это самостоятельно.

57

ятника складывается из моментов инерции либо трёх цилиндрических колец (в случае оси в виде полого цилиндра), либо двух колец и диска (в случае оси в виде сплошного цилиндра)

Момент инерции диска Iд mд2Rд2 , где mд, Rд − масса и ра-

диус диска соответственно. Вычислим теперь момент инерции кольца с внешним радиусом R1 , внутренним радиусом R2 и мас-

сой mк . Его можно найти как разность моментов инерции дисков

дисков соответственно. Так как эти массы неизвестны, а известна только масса кольца mк , введём её поверхностную плотность m0 .

кольца. Тогда массы обоих дисков могут быть найдены по форму-

подстановки этих выражений в формулу момента инерции кольца получим

m R2 R2

Iк к 12 2 .

Имея в виду параметры колец и оси маятника, приведённые выше, можно записать теоретическое выражение для момента инерции маятника Максвелла в виде суммы моментов инерции отдельных его частей с учётом двух типов его осей:

Описание и принцип работы экспериментальной установки

Общий вид установки приведён на рис. 7.2, где 1 – основание установки; 2 – несущая колонка, снабжённая миллиметровой шкалой; 3 – неподвижный кронштейн, закреплённый так, чтобы в момент пуска маятник проходил отметку "0" на шкале; 4, 9 – фотодатчики; 5 – электромагнит, удерживающий маятник в верхнем положении и отключающийся в момент пуска; 6 – затяжной винт и гайка для регулировки длины нити маятника; 7 – подвижный кронштейн с указателем 8, позволяющий устанавливать и измерять высоту падения маятника; 10 – маятник Максвелла; 11 – секундомер, соединённый с фотодатчиками 4 и 9 электромагнита. На лицевой панели секундомера имеются клавиши: «Сеть» – включение прибора, «Сброс» – обнуление табло, «Пуск» – отключение электромагнита.

Рис. 7.2

Порядок выполнения работы

59

Обработка и анализ результатов измерений

1.Вычислить среднее время падения маятника и его абсолютную погрешность.

2.Вычислить момент инерции маятника Максвелла по фор-

муле (7.1).

Абсолютную погрешность момента инерции маятника рассчитать как погрешность косвенных измерений. При этом, как всегда, когда расчётную формулу можно представить в виде одночлена, удобно сначала вычислить относительную погрешность. Такой способ вычислений, помимо его математической простоты по сравнению с вычислением абсолютной погрешности, удобен ещё и тем, что позволяет оценить по отдельности вклад каждой из измеряемых величин в суммарную погрешность и пренебречь теми слагаемыми, вклад которых невелик, т.е. величина которых в тричетыре раза (в квадрате это даёт разницу на порядок) меньше остальных.

В частности, для формулы (7.1) относительную погрешность можно сосчитать следующим образом (попытайтесь вывести это соотношение самостоятельно):

Зная относительную погрешность измерения, теперь легко найти и абсолютную.

3.Вычислить теоретическое значение момента инерции маятника по формуле (7.3), выбрав тот её вариант, который соответствует имеющейся форме оси маятника.

4.Записать окончательный результат вычислений момента инерции с погрешностью и теоретическое значение этой величины. Сопоставить их.

5.Вычислить кинетическую энергию маятника Максвелла в момент прохождения им нижней точки по формуле (7.2), подста-

вив в неё S h0 . Для проверки выполнения закона сохранения

энергии сравнить полученный результат с величиной потенциальной энергии: mgh0 .

61