МЕХАНИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ

ФИЗИКА

Методические указания к лабораторным работам

Министерство образования и науки Российской Федерации Балтийский государственный технический университет «Военмех»

МЕХАНИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

Методические указания к лабораторным работам

Издание четвёртое, исправленное и дополненное

Санкт-Петербург

2012

Составители: Д.Ю. Иванов, д-р физ.-мат. наук, проф.; Л.И. Васильева, канд. техн. наук, проф.; Н.А. Иванова, доц; Т.В. Иванова, доц.;

Д.Н. Ляхович, доц.; О.С. Алексеева, ст. преп.; Т.Н. Князева, ст. преп.; Ю.Н. Лазарева, ст. преп.

УДК (531+539.19)(076) М55

Механика и молекулярная физика: методиче- М55 ские указания к лабораторным работам. Изд. 4-е, испр. и доп. / Сост. Д.Ю. Иванов [и др.]; под ред.

Д.Ю. Иванова; Балт. гос. техн. ун-т. – СПб., 2012.

– 134 с.

Указания содержат 17 лабораторных работ, в каждой из которых приводятся краткие теоретические сведения, описание лабораторной установки, порядок проведения эксперимента и обработки результатов измерений, контрольные вопросы и задания.

Предназначены для студентов 1-го курса всех специальностей.

УДК (531+539.19)(076)

Р е ц е н з е н т зав. каф. физики БГТУ, д-р физ.-мат. наук,

проф. Д.Л. Фёдоров

Утверждено редакционно-издательским советом университета

© Составители, 2012 © БГТУ, 2012

ВВЕДЕНИЕ

Физика – наука экспериментальная. Эксперимент есть источник познания и критерий истинности гипотез и теорий. В настоящее время физические методы исследования и контроля широко используются во всех без исключения отраслях техники. Поэтому очень важно ещё в процессе обучения овладеть широким спектром физических методик, приобрести опыт пользования различными приборами для измерений и компьютерными программами для обработки их результатов и, что не менее существенно, научиться правильно оценивать неизбежно возникающие при этом ошибки.

Знания, умения и навыки, которые, в принципе, должны позволить решить эти задачи, призван дать студенту физический практикум. Работа в лаборатории является неотъемлемой частью процесса изучения как физических законов и явлений, так и методов познания физики. Выполнение лабораторной работы во многом аналогично проведению научного эксперимента, имеет те же цели и состоит из похожих этапов. И хотя в учебной лаборатории главным результатом эксперимента является подтверждение уже известных закономерностей, лабораторную работу, тем не менее, следует рассматривать как небольшое научное исследование.

Подготовка к работе

Выполнению лабораторной работы предшествует самостоятельная подготовка, которая включает в себя: 1) изучение исследуемого физического явления; 2) вывод расчётной формулы;

3)уяснение используемой в данной работе методики измерений;

4)подготовка протокола лабораторной работы.

Протокол должен содержать следующую информацию, которая обычно размещается на листах бумаги формата А4:

номер и название лабораторной работы;

фамилию и группу студента, выполняющего работу;

фамилии преподавателей;

3

цель работы;

приборы и принадлежности;

схему установки с кратким описанием её частей;

расчётные формулы (в том числе для расчёта погрешности косвенных измерений [1]1);

таблицы для занесения результатов измерений и вычисле-

ний;

ответы на вопросы, размещённые в конце каждой работы в разделе «Вопросы и задания для допуска к лабораторной работе». Ответы приводятся на отдельном листе написанными от руки.

Иногда соответствующая теория к моменту выполнения лабораторной работы может оказаться ещё не прочитанной на лекциях, или вообще не входить в программу лекционного курса. Поэтому, готовясь к работе, необходимо для ответов на контрольные вопросы пользоваться либо рекомендуемой литературой [1–8], либо дополнительной, найденной самостоятельно.

Протокол предъявляется преподавателю непосредственно перед лабораторной работой. Его наличие является неотъемлемой частью допуска к её выполнению.

Проведение эксперимента

Проведение эксперимента – центральный этап выполнения лабораторной работы. Перед работой необходимо внимательно ознакомиться с установкой и приборами, изучить приложенную к ним инструкцию. Приступать к проведению измерений можно, только получив допуск к работе. В лаборатории следует строго выполнять правила техники безопасности.

Для того чтобы число измерений было разумно достаточным, полезно перед проведением основного эксперимента провести серию предварительных измерений для ознакомления с работой приборов, характером изменения их показаний, необходимой плотностью экспериментальных точек на различных участках исследуемых зависимостей и т.п. Такое предварительное исследова-

1 Здесь и далее номера в квадратных скобках означают ссылку на библиографический список, помещённый в конце методических указаний

(с. 132).

4

ние позволит выбрать число отдельных экспериментальных точек на различных участках исследуемой зависимости так, чтобы подробно изучить места изгибов и максимумов кривой, но не делать лишних измерений на участках её плавного хода.

В ходе эксперимента необходимо следить за тем, чтобы, если это необходимо, такие параметры, как температура, давление, напряжение и т.п., оставались постоянными.

Результаты опыта должны быть занесены в протокол так, чтобы эта запись была понятна не только её автору. Записи должны быть сделаны авторучкой, применения карандаша следует избегать.

Одним из наиболее наглядных способов представления результатов эксперимента являются графики. При этом обычно выполняют следующие правила [1]:

используют только миллиметровую бумагу;

строят только ту область функции, которая исследована на опыте. На график наносят все полученные при измерениях значения;

значение аргумента откладывают по оси абсцисс, значение функции – по оси ординат, выбирая при этом удобный для чтения масштаб (1:2; 1:5; 1:10), а зависимость в таком виде, чтобы её графиком была прямая линия;

масштабы обеих осей выбирают так, чтобы линия графика зависимости проходила под углом (40÷50)°;

числовые значения на осях пишут только для крупных единиц масштаба, указывая их ниже оси абсцисс и левее оси ординат;

точка пересечения осей может, но не обязана быть нулём, кроме тех случаев, когда требуется проверить прохождение графика зависимости через начало координат;

кривую по экспериментальным точкам проводят плавно, избегая изломов, и так, чтобы она соответствовала усреднённым (на глаз) значениям.

Строить график предпочтительнее параллельно с ходом эксперимента, а не после полного его завершения. При таком подходе все особенности кривой и достоверность отдельных экспериментальных точек могут быть выявлены и учтены немедленно.

Составление отчёта

5

Отчёт, который составляется по завершении работы, по существу является продолжением протокола, а потому должен содержать:

сводные таблицы с результатами измерений и необходимые графики;

подробный расчёт искомых величин и их погрешностей;

окончательный результат с учётом оценки погрешностей измерений и вычислений;

анализ полученных результатов: сравнение экспериментального значения величины с её табличным значением или согласование, полученной в результате опыта зависимости с той, что предсказывает теория;

ответы на вопросы, помещённые в конце каждой работы в разделе «Вопросы и задания к защите лабораторной работы»

Составление отчёта должно быть закончено до начала следующей лабораторной работы.

Защита лабораторной работы

Это последний, но не менее ответственный этап. Необходимо научиться самостоятельно представлять выполненную работу, а именно уметь:

отвечать на вопросы по теоретической части работы;

пояснять методику проведения эксперимента;

аргументировать выбор способа обработки результатов;

анализировать полученные результаты и делать соответствующие выводы.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

ИССЛЕДОВАНИЕ ЦЕНТРАЛЬНОГО УДАРА ШАРОВ

Цель работы – изучить законы сохранения на примере центрального удара двух шаров; определить коэффициент восстановления для стали; исследовать зависимость силы и времени соударения от относительной скорости шаров.

6

Приборы и принадлежности: экспериментальная установка для исследования столкновений шаров; стальные шары; секундомер (погрешность измерения времени ±1 мкс).

Краткие сведения из теории

Ударом называется совокупность явлений, возникающих при столкновении движущихся твёрдых тел. Промежуток времени, в

течение которого длится удар, обычно очень мал (10 6 ÷10 3 с), что позволяет пренебречь действием внешних сил и считать, что полный импульс тел при ударе сохраняется.

Процесс удара обычно разделяют на две фазы. Первая фаза длится от момента соприкосновения тел до момента возникновения максимальной деформации, т.е. до тех пор, пока относительная скорость центров масс соударяющихся тел не станет равной нулю. При этом часть кинетической энергии тел тратится на работу по их деформированию. Во второй фазе удара рассматривают эволюцию возникшей деформации, переход энергии из одной формы в другую и распределение скоростей соударяющихся тел после удара.

Деформация называется упругой, если после снятия вызвавшей её нагрузки она исчезает, и пластической, если её полного исчезновения не происходит. В первом случае и сам удар называется упругим, а во втором – неупругим. Все реальные твёрдые тела при деформации в большей или меньшей мере обладают пластическими свойствами, так что на практике механическая энергия соударяющихся тел к концу удара вследствие потерь на образование остаточных деформаций, нагревание тел и т.п. восстанавливается лишь частично. Для учёта этих потерь вводится так называемый коэффициент восстановления k (см. формулу (1.9)), который считается зависящим только от физических свойств материала тел. Эксперимент показывает, что при скоростях соударения порядка 3 м/с для тел из дерева k = 0,5, из стали 0,55, из слоновой кости 0,89. В предельных случаях при абсолютно упругом ударе k = 1, а при абсолютно неупругом k = 0.

До тех пор пока нагрузка не превышает предела упругости, любое твёрдое тело с достаточной точностью можно считать упругим, что даёт основание теоретически рассматривать два предельных случая соударения двух тел: абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары. В первом случае форма тел, изменённая в процессе

7

удара, восстанавливается полностью, во втором не восстанавливается вовсе. В первом случае потенциальная энергия упругой деформации полностью переходит в кинетическую энергию разлетающихся после соударения тел, во втором такого перехода не происходит, удар заканчивается на первой фазе.

Удары отличаются друг от друга не только по энергетическим признакам (упругий, неупругий), но и по геометрии. Если центры масс тел лежат на линии удара, он называется центральным, в противном случае – нецентральным (линией удара называется прямая, проходящая через точку касания тел, перпендикулярно плоскости соприкосновения). Если скорости центров масс в начале удара направлены параллельно линии удара, то удар называется прямым, в противном случае – косым.

Перед тем как приступить к исследованию удара стальных шаров, для которых коэффициент восстановления k, как и для всяких реальных твёрдых тел, отличается от единицы, рассмотрим оба предельных случая.

Абсолютно упругий удар. В первой фазе удара этого типа кинетическая энергия T переходит полностью или частично в потенциальную энергию U упругой деформации, во второй фазе обратный переход происходит полностью, тела снова обретают первоначальную форму. В итоге потенциальная энергия упругой деформации опять переходит в кинетическую и тела, отталкивая друг друга, разлетаются. При абсолютно упругом ударе механическая энергия W не переходит в другие виды энергии, поэтому здесь выполняются оба закона сохранения: механической энергии

(W T U const ) и импульса ( p01 p02 p1 p2 ).

Записав эти законы в явном виде, можно найти скорости ша-

ственно; m1 и m2 – массы шаров.

В случае прямого центрального удара скорости тел направлены вдоль одной прямой и, значит, их можно считать алгебраическими величинами. Перепишем уравнения (1.1) и (1.2) в виде

8

Решив совместно (1.3) и (1.4), получим

Совместное решение (1.3) и (1.5) позволяет найти скорости обоих тел после удара:

Если m1 m2 , то 1 02 , а 2 01 , т.е. шары одинаковой массы при соударении обмениваются скоростями. Из формулы (1.5) видно, что при абсолютно упругом ударе модули относительных скоростей шаров до и после удара одинаковы.

Абсолютно неупругий удар. В этом случае из двух законов сохранения выполняется только один – закон сохранения импульса. При этом, поскольку, как уже было отмечено, возникшая в телах в первой фазе удара деформация не исчезает, шары после удара движутся вместе с одной и той же скоростью C – скоростью

их общего центра масс (центра инерции). Тогда можно записать:

Кинетическая энергия системы из двух тел до T0 и после T удара может быть представлена следующим образом:

зультате абсолютно неупругого удара. Решив совместно систему уравнений (1.1а) и (1.2а), получим

Из этой формулы видно, что потеря энергии при абсолютно неупругом прямом центральном ударе шаров зависит от их приве-

9

до соударения.

Поскольку всякий реальный удар в той или иной степени есть удар неупругий, то он сопровождается потерей механической (кинетической) энергии и, как следствие, потерей относительной скорости. Для учёта этих потерь вводят, как уже было сказано, коэффициент восстановления относительной скорости k:

В предельных случаях при абсолютно неупругом ударе k 0 (скорости тел после удара одинаковы), а при абсолютно упругом (см. формулу (1.5)) k 1.

При не вполне упругом ударе (0 k 1) скорости шаров после

удара можно найти из закона сохранения импульса (1.3) и уравнения (1.9). Решив эти уравнения совместно, получим

Время соударения и ударные силы в контактной теории Герца. Время соударения и ударные силы зависят от физических

2 Проведите вывод формул (1.10) и (1.11) самостоятельно.

10

свойств тел, их размеров и относительной скорости движения. Теория удара, позволяющая рассчитать эти параметры, базируется на ряде упрощающих предположений. Одна из первых моделей, принадлежащая Ньютону, исходит из предположения о пропорциональности относительных скоростей соударяющихся тел перед ударом и после удара; она широко используется при описании движения этих тел на интервале времён, по сравнению с которым удар допустимо считать мгновенным. Однако при анализе ударных систем важной является и другая задача – определение ударных сил, возникающих в процессе удара. Естественно, что эта задача не может быть решена без учёта деформирования соударяющихся тел. Исследования, посвящённые проблеме продольного удара, проведённые ещё в XIX веке в работах Навье, Буссинеска, Сен-Венана, показывают, что процесс удара тел сопровождается возбуждением в зоне контакта упругих волн. Эти волны распространяются с определённой скоростью, осуществляя перенос энергии по всему объёму соударяющихся тел.

Противоположной по постановке является модель Герца, в основе которой лежат две гипотезы. Во-первых, предполагается, что при взаимодействии соударяющихся тел существенными являются лишь местные деформации в зоне контакта. Во-вторых, считается, что зависимость контактной силы от контактной деформации при ударе остается такой же, как и при статическом сжатии тел. С использованием этих гипотез модель продольного удара двух тел может быть представлена моделью удара абсолютно твердых тел, взаимодействующих между собой в общем случае через нелинейный упругий элемент. Схема такого соударения показана на рис. 1.1.

11

Рис. 1.1

Иными словами, контактная теория Герца предполагает, что эффекты, определяющие развитие процесса удара, охватывают лишь небольшие области внутри тел, примыкающие к поверхности контакта. Остальные части соударяющихся тел не деформируются при ударе, т.е. движутся как абсолютно твёрдые тела. При таких предположениях ясно, что контактная теория применима только при условии, что время прохождения упругих волн по сталкивающимся телам много меньше продолжительности удара. Однако соответствующий расчёт показывает, что для многих реальных ситуаций это ограничение несущественно.

Свойства упругого элемента, моделирующего контактные деформации соударяющихся тел, проявляются лишь при сжатии. Если обозначить через ∆x сближение центров масс соударяющихся тел во время удара, то контактная (ударная) сила F по теории Герца определится выражением

щихся тел в направлении удара; b – коэффициент, зависящий от радиусов кривизны R1, R2 поверхностей тел в точке контакта

иот свойств материала; 1, 2 и E1, E2 – коэффициенты Пуассона

имодули упругости материала соударяющихся тел соответственно.

Для одинаковых шаров 1 2 , E1 E2 E, R1 R2 R из (1.13) следует:

Записав уравнения движения для каждого из тел, после преобразований можно перейти к дифференциальному уравнению вида

12

Вустановке 1 на передней панели прибора имеются кнопки «Сеть», «Сброс» и «Пуск».

Вустановке 2 тумблер «Сеть» находится на задней панели прибора. На передней панели имеются кнопки «Сброс», «Пуск» и «Стоп». Кнопка «Стоп» в данной работе не используется.

φ01 φ2

l

h2

h01

Рис. 1.2

Один из шаров отводится из положения равновесия на угол01 и отпускается. Из закона сохранения механической энергии

следует:

где 01 – скорость ударяющего шара непосредственно перед уда-

шар был отведен до удара. Аналогично определяется скорость второго шара после удара:

2 2 gl sin( 2 2) ,

14

здесь 2 – угол, на который отклоняется второй шар после удара. При m1 m2 m и 02 0 из второго уравнения системы (1.10)

находим 2 1 k 01 , а затем и коэффициент восстановления: 2

Таким образом, как показывает уравнение (1.19), для определения коэффициента восстановления достаточно измерить углы

вать и для нахождения средней силы взаимодействия шаров за время удара:

Порядок выполнения работы

1.Включить установку в сеть.

2.Нажать кнопку «Сброс» и отвести шарик на угол 01 :

установка 1: 01 = 10°, установка 2: 01 = 4°.

3.Нажать кнопку «Пуск» и отпустить шарик.

4.Отсчитать по шкале установки максимальный угол откло-

нения 2 второго шарика после соударения и записать его

втабл. 1.1, время соударения шариков занести в табл. 1.2.

5.Повторить измерения для данного угла 01 пять раз.

6.Повторить измерения пп. 2–4 для всех остальных значений угла 01 :

установка 1: 01 = 15°, 20°, 25°, 30°, 35°, 40°; установка 2: 01 = 6°, 8°, 10°, 12°, 14°.

Таблица 1.1

15

kср=…...

l =……мм, т =……кг

Обработка и анализ результатов измерений

1.Заполнив табл. 1.1, найти средние значения угла 2 для каждого из углов 01 .

2.Вычислить по формуле (1.19) коэффициент восстановления k для каждого угла 01 . Найти среднее значение k и оценить

погрешность его определения по разбросу3 результатов для всего набора использованных углов 01 .

3. Полагая m1 m2 m , определить по формуле (1.12) ту

часть первоначальной кинетической энергии, которая переходит в другие виды энергии:

4. Измерить и записать расстояние l от центра шара до точки крепления нити. Вычислить по формуле (1.18) скорость первого

шара до удара для каждого угла 01 , а также среднее значение времени соударения. Результаты занести в табл. 1.2.

3 Предварительно следует убедиться, что k действительно не меняется систематически.

16

5. Записать массу шара т. Вычислить для каждого угла 01 среднюю силу взаимодействия по формуле (1.20):

Fср m 1 k 01 .

2

Результаты занести в табл. 1.2.

6. Построить графики зависимости времени соударения и средней силы взаимодействия Fср от относительной скорости ша-

ров до удара 0 01 .

7. Определить показатель степени в зависимости времени со-

представляет собой прямую линию, где n − тангенс угла наклона графика к оси абсцисс.

8.С помощью построенного графика определить значение n

исравнить его с показателем степени в зависимости (1.17). По всей совокупности полученных данных сделать вывод о соответствии результатов опыта контактной теории Герца.

Вопросы и задания для допуска к лабораторной работе

1.В чём состоит различие между абсолютно упругим и абсолютно неупругим ударами? Какие физические законы используются для вывода формул скоростей шаров при прямом центральном ударе? Почему в данном эксперименте шары при ударе обмениваются скоростями?

2.Записать формулу второго закона Ньютона в импульсной форме. Каков физический смысл величин, входящих в эту формулу?

3.Сформулировать коротко суть метода, применяющегося в лабораторной работе, для определения коэффициента восстановления и средней силы взаимодействия шаров за время удара.

Вопросы и задания к защите лабораторной работы

17