2.2.3. Бесконечно малые функции и бесконечно большие функции.

1) Основные понятия.

Функция x называется бесконечно малой функцией при х а, (x∞) , если ,.

Функция x называется бесконечно большой функцией при х а, (x∞) , если ,.

Функция, обратная бесконечно малой, есть функция бесконечно большая.

2) Основные теоремы.

1)) Сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

2)) Произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную есть бесконечно малая функция.

3)) Если функция у = у(х) может быть представлена в виде у = b + , где b = const, а  = (x) – бесконечно малая функция при х а , то .

3) Сравнение бесконечно малых функций.

Если , где(х) и (х) – бесконечно малые функции при х а, то  и  называются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.

Если , то называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) большого порядка малости чем 

Если , то - называется б.м.ф. меньшего порядка малости чем .

Если , то бесконечно малые функции  и  называются эквивалентами б.м.ф.

Если  и  - эквивалентные бесконечно малые функции, то () - б.м.ф. большего порядка малости, чем  и чем .

Типовые примеры.

1.

Решение.

2.

Решение.

=

Лекция 11.

Тема 2.3. Производные функции одной переменной.

1. Производная и ее геометрический смысл.

2. Производные основных элементарных функций.

3. Производные сложных и обратных функций и функций заданных параметрически.

1. Производная и ее геометрический смысл.

1. Понятие производной.

Производной функции f(x) в точке х = х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует .

Если у = у(х), то =(2.3.1.)

2. Геометрическая интерпретация производной.

у f(x)

f(x₀ +x) P

f

f(x₀) M

  x

0 x₀ x₀ + x x

Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

,

где  - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x₀, f(x₀)).

Производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функцииy=у(х)в точкехк оси 0х:

=tg . (2.3.2.)

Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

Уравнение касательной к кривой:

Уравнение нормали к кривой: .

Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.

3. Связь непрерывности с дифференцируемостью.

Если функция у = у(х)имеет в точкех производную, то она называется дифференцируемой в точкех.

Если функция у = у(х)дифференцируема в точкех,то она в этой точке непрерывна. Обратное утверждение неверно, т.е. из непрерывности дифференцируемость не следует.

4. Основные правила дифференцирования.

= 0, (2.3.3) ,(2.3.4) ,(2.3.5)

, (2.3.6) , (2.3.7)

2. Производные основных элементарных функций.

= n x ^n-1 (2.3.8) = a^x ln a (2.3.9) = (2.3.10)

(sin x)’ = cos x (2.3.11) (cos x)’ = - sin x (2.3.12) (tg x)’ = (2.3.13)

(ctg x)’ = -(2.3.14) (arc sin x)’ = (2.3.15)

(arc cos x) = - (2.3.16) (arc tg x) = (2.3.17)

(arc ctg x) = - (2.3.18)

Типовой пример.

Доказать, что = a ^x ln a.

Доказательство.

Таблица производных

1. = 0 14. (ctg x)’ = - 27.

2. =1 15. (sh x)’ = ch x 28.

3. 16. (ch x)’ = sh x 29.

4. = n x ^n-1 17. (th x)’ = 30.

5. 18. (cth x)’ = - 31.

6. 19. (arc sin x)’ = 32.

7. = a ^x ln a 20. (arc cos x) = - 33.

8. 21. (arc tg x) = 34.

9. = 22. (arc ctg x) = -35.

10. 23. 36.

11. (sin x)’ = cos x 24. 37.

12. (cos x)’ = - sin x 25. 38.

13.(tg x)’ = 26.

Формулы Эйлера

1. . 2.. 3.. 4..

5. . 6.. 7.. 8..

9.

3. Производные сложных и обратных функций и функций заданных параметрически.

1) Производные сложных функций

(2.3.19)

Теорема 2.3.1.

Пусть y = f(u); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f. Тогда

Доказательство.

( с учетом того, что если x0, то u0, т.к. u = g(x) – непрерывная функция). Тогда

Теорема доказана.

Производная сложной показательной функции

(2.3.20)

Найдем производную функции y = u^v. Логарифмируя, получим:

lny = vlnu

2. Производные обратных функций

(2.3.21)

3) Производные функций заданных параметрически

(2.3.22)

(2.3.33)

Лекция 12