2.1.3. Предел функции. Основные теоремы о пределах.

1)Предел функции в точке.

y(х) = A   √ > 0 δ = δ() > 0 |х-х₀|<δ| y(х)–A|<(2.1.7)

2) Односторонние пределы. Предел слева:

y(х) = A   √ > 0 δ = δ()> 0x<x₀ |х-х₀|<δ| y(х)–A|<

(2.1.8)

Аналогично определяется предел функции справа: y(х) = A. Предел слева и предел справа – односторонние пределы.

3)Предел функции на бесконечности.

(2.1.9)

4) Основные теоремы о пределах.

1)) (y₁ ± y₂) = y₁ ± y₂ (2.1.10)

2)) (y₁y₂) = y₁ y₂ (2.1.11)

Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

3)) (2.1.12)

4)) Если между соответствующими значениями функций u = u (x), v= v (x), w = w(x) при x→x₀ выполняются неравенства u ≤ v ≤ w и при этом u = A и w = A, то и v = A. (2.9.13)

5)) Если при x→x₀ y (x) ≥ 0, то и y(х) = A ≥ 0 (2.1.14)

6)) Если U₁ (x) ≥ U₂ при x→x₀, то и U₁(x) ≥U₂(x) (2.1.15)

Типовые примеры.

1. Доказать, что

Решение.

Пусть у=3х-1, >0. Для данного >0 требуется найти такое >0, что для <<. Последнее неравенство имеет вид:<<<, из чего следует, что для всех<<, то есть

Замечание.

Если при вычислении предела нет особенностей, например, неопределённостей, то предел вычисляется методом предельного перехода, то есть прямой подстановкой предельного значения переменной величины х в предел. Например:

Лекция 10.

Тема 2.2. Предел и непрерывность функции.

2.2.1.Первый и второй замечательные пределы. Раскрытие неопределённостей типа .

2.2.2.Непрерывность функции.

2.2.3.Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

2.2.1. Первый и второй замечательные приделы. Раскрытие неопределённостей типа .

1. Первый замечательный предел.

(2.2.1.)

2) Второй замечательный придел.

(2.2.2.)

(2.2.3.)

Число Непера: е = 2,71828.

3) Натуральные логарифмы

log_е.x = ln x (2.2.4.)

lg N 0,43429 ln N

4) Раскрытие неопределённостей типа .

Типовые примеры.

1.

Решение.

2.

Решение.

.

3.

4. lg e 0,43429 ln e  0,43429.

5.

Решение.

6.

Решение.

7.

Решение.

.

8.

Решение.

9.

Решение.

10.

Решение.

.

11.

Решение.

.

2.2.2. Непрерывность функции.

1) Основные понятия.

Функция y = y(х) непрерывна в точке х₀, если , где

х = х – х₀, у = у – у₀, у₀ = у (х₀).

2) Основные теоремы о непрерывных функциях.

1)) Если функция f(x) непрерывна на [a,b] и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то найдется такая точка С(аСb), что f(C) = 0.

2)) Если функция у = у(х) определена и непрерывна на [a,b] и f(a) = A, f(b) = B и АСВ, тогда найдется такая точка сε(а,b), что f(c) = C.

3) Точка разрыва функции.

Различают два типа точек разрыва.

Если для функции у = у(х) существуют конечные пределы ,, причем не все три числа,иравны между собой, то точках₀ называется точкой разрыва 1-го рода. Точки разрыва 1-го рода, у которых , называется устранимой точкой разрыва 1-го рода

Точки разрыва функции, не являющиеся точками разрыва 1-го рода, называются точками разрыва 2-го рода.

Типовой пример.

Доказать, что функция у = х² непрерывна.

Доказательство:

. означает, что функцияу = х² в точке х непрерывна.

2. Исследовать на непрерывность функцию .

Ответ: точка х=2 является точкой разрыва, так как в ней функция у=у(х) не определена.