Geom / AnGeom_2_13

Приведение к каноническому виду

Аналитическая геометрия

Лекция 28. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду

Сбродова Елена Александровна

16 мая 2012 г.

Аналитическая геометрия. Лекция 28

Приведение к каноническому виду

Вспомогательная лемма.

Пусть в некоторой декартовой системе координат уравнение поверхности имеет вид a11x2 + 2b1x + 2b2y + 2b3z + c = 0. Тогда существует такая декартова система координат, в

которой уравнение поверхности примет вид a11x02 + 2b02y0 + c0 = 0.

Аналитическая геометрия. Лекция 28

Приведение к каноническому виду

Вспомогательная лемма.

Доказательство.

Выделим полный квадрат при переменной x. Выполнив

параллельный перенос вдоль оси Ox, перейдем к уравнению

a11x002 + 2b002y00 + 2b003z00 + c00 = 0.

Если хотя бы один из коэффициентов b002 или b003 равен 0, то

уравнение имеет нужный вид.

Если b002 6= 0 и b003 6= 0, выполним замену

b = p(b002)2 + (b003)2.

Аналитическая геометрия. Лекция 28

Приведение к каноническому виду

Вспомогательная лемма.

Проверим, что данная замена является ортогональной.

Аналитическая геометрия. Лекция 28

Приведение к каноническому виду

Вспомогательная лемма.

После такой замены слагаемые 2b002y00 + 2b003z00 перейдут в 2by0. Уравнение примет вид a11x02 + 2b02y0 + c0 = 0. Лемма доказана.

Аналитическая геометрия. Лекция 28

Приведение к каноническому виду

Теорема о приведении уравнения поверхности II порядка к каноническому виду.

Пусть дана поверхность II порядка. Тогда существует декартова система координат, называемая канонической, в которой поверхность имеет одно из следующих уравнений:

Аналитическая геометрия. Лекция 28

Приведение к каноническому виду

Теорема о приведении уравнения поверхности II порядка к каноническому виду.

Пусть дана поверхность II порядка. Тогда существует декартова система координат, называемая канонической, в которой поверхность имеет одно из следующих уравнений:

Аналитическая геометрия. Лекция 28

Приведение к каноническому виду

Теорема о приведении уравнения поверхности II порядка к каноническому виду.

Пусть дана поверхность II порядка. Тогда существует декартова система координат, называемая канонической, в которой поверхность имеет одно из следующих уравнений:

Аналитическая геометрия. Лекция 28

Приведение к каноническому виду

Теорема о приведении уравнения поверхности II порядка к каноническому виду.

Пусть дана поверхность II порядка. Тогда существует декартова система координат, называемая канонической, в которой поверхность имеет одно из следующих уравнений:

Аналитическая геометрия. Лекция 28

Приведение к каноническому виду

Теорема о приведении уравнения поверхности II порядка к каноническому виду.

Пусть дана поверхность II порядка. Тогда существует декартова система координат, называемая канонической, в которой поверхность имеет одно из следующих уравнений:

Аналитическая геометрия. Лекция 28