Geom / AnGeom_2_13
.pdf
Приведение к каноническому виду
Приведение к каноническому виду
2.Пусть одно из λ1, λ2, λ3 равно 0. Можем считать, что λ1 6= 0, λ2 6= 0, λ3 = 0. Выделим полные квадраты при x˜ и y˜. Получим уравнение
|
|
|
|
λ1x02 + λ2y02 + 2b30 z0 + c0 = 0. |
|
||||||||||||||||
• |
Если b0 |
= 0, выполним замену z00 = z0 |
+ |
c0 |
, x00 |
= x0, |
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||
|
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2b30 |
|
|||
|
y00 = y0, разделим на b30 , получим уравнение |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2z00 = |
x002 |
|
+ |
y002 |
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
−b30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−b30 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
λ1 |
|
|
|
λ2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
−b30 |
|
−b30 |
−b30 |
|
|
|
|
−b30 |
|
|
|
|
|||||||
|
При |
λ1 |
> 0, |
λ2 |
> 0 или |
λ1 |
|
< 0, |
λ2 |
|
< 0 уравнение |
||||||||||
|
задает эллиптический параболоид. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
−b30 |
|
−b30 |
−b30 |
|
|
|
|
−b30 |
|
|
|
|
|||||||
|
При |
|
> 0, |
|
< 0 или |
|
|
< 0, |
|
|
> 0 уравнение |
||||||||||
|
λ1 |
λ2 |
λ1 |
λ2 |
|||||||||||||||||
задает гиперболический параболоид.
Аналитическая геометрия. Лекция 28
Приведение к каноническому виду
Приведение к каноническому виду
• |
Если b0 = 0, уравнение примет вид λ1x02 + λ2y02 + c0 = 0. |
||||||||||||||||
|
3 |
x02 |
|
|
|
y02 |
|
||||||||||
|
При c0 |
= 0 и λ1λ2 > 0, уравнение |
+ |
|
|||||||||||||
• |
|
1 |
|
|
|
1 = 0 задает |
|||||||||||
прямую. |
|
λ1 |
|
|
|
|
|
λ2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
• |
При c0 |
= 0 и λ1λ2 < 0, уравнение |
|
x02 |
|
|
− |
|
|
|
y02 |
= 0 задает |
|||||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|λ1| |
|
|
|
|
|
|λ2| |
|
|||||||
|
пару пересекающихся плоскостей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
• При c0 |
= 0 и λ1λ2 > 0, уравнение |
|
x02 |
|
+ |
|
|
|
y02 |
= 1 задает |
|||||||
|
−c0 |
|
|
|
|
−c0 |
|
||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
λ1 |
|
|
|
|
|
|
|
λ2 |
|
|||||
|
эллиптический цилиндр, если −c0 > 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
λ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
задает мнимый эллиптический цилиндр, если −c0 < 0. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ1 |
• При c0 |
= 0 и λ1λ2 < 0, уравнение |
|
x02 |
|
+ |
|
|
|
y02 |
= 1 задает |
|||||||
|
−c0 |
|
|
|
|
−c0 |
|
||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
λ1 |
|
|
|
|
|
|
|
λ2 |
|
|||||
гиперболический цилиндр.
Аналитическая геометрия. Лекция 28
Приведение к каноническому виду
Приведение к каноническому виду
• |
Если b0 = 0, уравнение примет вид λ1x02 + λ2y02 + c0 = 0. |
||||||||||||||||
|
3 |
x02 |
|
|
|
y02 |
|
||||||||||
|
При c0 |
= 0 и λ1λ2 > 0, уравнение |
+ |
|
|||||||||||||
• |
|
1 |
|
|
|
1 = 0 задает |
|||||||||||
прямую. |
|
λ1 |
|
|
|
|
|
λ2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
• |
При c0 |
= 0 и λ1λ2 < 0, уравнение |
|
x02 |
|
|
− |
|
|
|
y02 |
= 0 задает |
|||||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|λ1| |
|
|
|
|
|
|λ2| |
|
|||||||
|
пару пересекающихся плоскостей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
• При c0 |
= 0 и λ1λ2 > 0, уравнение |
|
x02 |
|
+ |
|
|
|
y02 |
= 1 задает |
|||||||
|
−c0 |
|
|
|
|
−c0 |
|
||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
λ1 |
|
|
|
|
|
|
|
λ2 |
|
|||||
|
эллиптический цилиндр, если −c0 > 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
λ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
задает мнимый эллиптический цилиндр, если −c0 < 0. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ1 |
• При c0 |
= 0 и λ1λ2 < 0, уравнение |
|
x02 |
|
+ |
|
|
|
y02 |
= 1 задает |
|||||||
|
−c0 |
|
|
|
|
−c0 |
|
||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
λ1 |
|
|
|
|
|
|
|
λ2 |
|
|||||
гиперболический цилиндр.
Аналитическая геометрия. Лекция 28
Приведение к каноническому виду
Приведение к каноническому виду
• |
Если b0 = 0, уравнение примет вид λ1x02 + λ2y02 + c0 = 0. |
||||||||||||||||
|
3 |
x02 |
|
|
|
y02 |
|
||||||||||
|
При c0 |
= 0 и λ1λ2 > 0, уравнение |
+ |
|
|||||||||||||
• |
|
1 |
|
|
|
1 = 0 задает |
|||||||||||
прямую. |
|
λ1 |
|
|
|
|
|
λ2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
• |
При c0 |
= 0 и λ1λ2 < 0, уравнение |
|
x02 |
|
|
− |
|
|
|
y02 |
= 0 задает |
|||||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|λ1| |
|
|
|
|
|
|λ2| |
|
|||||||
|
пару пересекающихся плоскостей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
• При c0 |
= 0 и λ1λ2 > 0, уравнение |
|
x02 |
|
+ |
|
|
|
y02 |
= 1 задает |
|||||||
|
−c0 |
|
|
|
|
−c0 |
|
||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
λ1 |
|
|
|
|
|
|
|
λ2 |
|
|||||
|
эллиптический цилиндр, если −c0 > 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
λ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
задает мнимый эллиптический цилиндр, если −c0 < 0. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ1 |
• При c0 |
= 0 и λ1λ2 < 0, уравнение |
|
x02 |
|
+ |
|
|
|
y02 |
= 1 задает |
|||||||
|
−c0 |
|
|
|
|
−c0 |
|
||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
λ1 |
|
|
|
|
|
|
|
λ2 |
|
|||||
гиперболический цилиндр.
Аналитическая геометрия. Лекция 28
Приведение к каноническому виду
Приведение к каноническому виду
• |
Если b0 = 0, уравнение примет вид λ1x02 + λ2y02 + c0 = 0. |
||||||||||||||||
|
3 |
x02 |
|
|
|
y02 |
|
||||||||||
|
При c0 |
= 0 и λ1λ2 > 0, уравнение |
+ |
|
|||||||||||||
• |
|
1 |
|
|
|
1 = 0 задает |
|||||||||||
прямую. |
|
λ1 |
|
|
|
|
|
λ2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
• |
При c0 |
= 0 и λ1λ2 < 0, уравнение |
|
x02 |
|
|
− |
|
|
|
y02 |
= 0 задает |
|||||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|λ1| |
|
|
|
|
|
|λ2| |
|
|||||||
|
пару пересекающихся плоскостей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
• При c0 |
= 0 и λ1λ2 > 0, уравнение |
|
x02 |
|
+ |
|
|
|
y02 |
= 1 задает |
|||||||
|
−c0 |
|
|
|
|
−c0 |
|
||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
λ1 |
|
|
|
|
|
|
|
λ2 |
|
|||||
|
эллиптический цилиндр, если −c0 > 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
λ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
задает мнимый эллиптический цилиндр, если −c0 < 0. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ1 |
• При c0 |
= 0 и λ1λ2 < 0, уравнение |
|
x02 |
|
+ |
|
|
|
y02 |
= 1 задает |
|||||||
|
−c0 |
|
|
|
|
−c0 |
|
||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
λ1 |
|
|
|
|
|
|
|
λ2 |
|
|||||
гиперболический цилиндр.
Аналитическая геометрия. Лекция 28
Приведение к каноническому виду
Приведение к каноническому виду
• |
Если b0 = 0, уравнение примет вид λ1x02 + λ2y02 + c0 = 0. |
||||||||||||||||
|
3 |
x02 |
|
|
|
y02 |
|
||||||||||
|
При c0 |
= 0 и λ1λ2 > 0, уравнение |
+ |
|
|||||||||||||
• |
|
1 |
|
|
|
1 = 0 задает |
|||||||||||
прямую. |
|
λ1 |
|
|
|
|
|
λ2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
• |
При c0 |
= 0 и λ1λ2 < 0, уравнение |
|
x02 |
|
|
− |
|
|
|
y02 |
= 0 задает |
|||||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|λ1| |
|
|
|
|
|
|λ2| |
|
|||||||
|
пару пересекающихся плоскостей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
• При c0 |
= 0 и λ1λ2 > 0, уравнение |
|
x02 |
|
+ |
|
|
|
y02 |
= 1 задает |
|||||||
|
−c0 |
|
|
|
|
−c0 |
|
||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
λ1 |
|
|
|
|
|
|
|
λ2 |
|
|||||
|
эллиптический цилиндр, если −c0 > 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
λ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
задает мнимый эллиптический цилиндр, если −c0 < 0. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ1 |
• При c0 |
= 0 и λ1λ2 < 0, уравнение |
|
x02 |
|
+ |
|
|
|
y02 |
= 1 задает |
|||||||
|
−c0 |
|
|
|
|
−c0 |
|
||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
λ1 |
|
|
|
|
|
|
|
λ2 |
|
|||||
гиперболический цилиндр.
Аналитическая геометрия. Лекция 28
Приведение к каноническому виду
Приведение к каноническому виду
3. Пусть два из λ1, λ2, λ3 равны 0. Можем считать, что
|
λ1 6= 0, λ2 = 0, λ3 = 0. По вспомогательной лемме |
|
||||||
|
существует декартова система координат, в которой |
|||||||
|
уравнение поверхности имеет вид λ1x02 + 2b20 y0 + c0 = 0 |
|||||||
• |
Если b0 |
= 0, выполним замену y00 = y0 + |
c0 |
, x00 = x0 |
, |
|||
|
||||||||
z00 |
2 |
6 |
|
|
2b20 |
|
||
|
= z0, разделим на λ1, получим уравнение |
|
||||||
|
|
|
x002 = |
−2b20 |
y00, |
|
|
|
|
|
|
λ1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которое задает параболический цилиндр.
•Если b02 = 0, имеем уравнение λ1x02 = −c0.
При c0 = 0 получим пару совпадающих параллельных плоскостей.
При c0 6= 0 и −c0 > 0, имеем пару параллельных
λ1
плоскостей.
При c0 6= 0 и −c0 < 0, имеем пару мнимых параллельных
λ1
плоскостей.
Аналитическая геометрия. Лекция 28
Приведение к каноническому виду
Приведение к каноническому виду
3. Пусть два из λ1, λ2, λ3 равны 0. Можем считать, что
|
λ1 6= 0, λ2 = 0, λ3 = 0. По вспомогательной лемме |
|
||||||
|
существует декартова система координат, в которой |
|||||||
|
уравнение поверхности имеет вид λ1x02 + 2b20 y0 + c0 = 0 |
|||||||
• |
Если b0 |
= 0, выполним замену y00 = y0 + |
c0 |
, x00 = x0 |
, |
|||
|
||||||||
z00 |
2 |
6 |
|
|
2b20 |
|
||
|
= z0, разделим на λ1, получим уравнение |
|
||||||
|
|
|
x002 = |
−2b20 |
y00, |
|
|
|
|
|
|
λ1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которое задает параболический цилиндр.
•Если b02 = 0, имеем уравнение λ1x02 = −c0.
При c0 = 0 получим пару совпадающих параллельных плоскостей.
При c0 6= 0 и −c0 > 0, имеем пару параллельных
λ1
плоскостей.
При c0 6= 0 и −c0 < 0, имеем пару мнимых параллельных
λ1
плоскостей.
Аналитическая геометрия. Лекция 28
Приведение к каноническому виду
Приведение к каноническому виду
3. Пусть два из λ1, λ2, λ3 равны 0. Можем считать, что
|
λ1 6= 0, λ2 = 0, λ3 = 0. По вспомогательной лемме |
|
||||||
|
существует декартова система координат, в которой |
|||||||
|
уравнение поверхности имеет вид λ1x02 + 2b20 y0 + c0 = 0 |
|||||||
• |
Если b0 |
= 0, выполним замену y00 = y0 + |
c0 |
, x00 = x0 |
, |
|||
|
||||||||
z00 |
2 |
6 |
|
|
2b20 |
|
||
|
= z0, разделим на λ1, получим уравнение |
|
||||||
|
|
|
x002 = |
−2b20 |
y00, |
|
|
|
|
|
|
λ1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которое задает параболический цилиндр.
•Если b02 = 0, имеем уравнение λ1x02 = −c0.
При c0 = 0 получим пару совпадающих параллельных плоскостей.
При c0 6= 0 и −c0 > 0, имеем пару параллельных
λ1
плоскостей.
При c0 6= 0 и −c0 < 0, имеем пару мнимых параллельных
λ1
плоскостей.
Аналитическая геометрия. Лекция 28