Geom / AnGeom_2_13
.pdf
Приведение к каноническому виду
x2
13. a2
x2
14. a2
x2
15. a2
x2
16. a2
x2
17. a2
=1, пара параллельных плоскостей.
=0, пара совпадающих параллельных плоскостей.
y2 |
|
z2 |
= −1, мнимый эллипсоид. |
|
+ |
|
+ |
|
|
b2 |
c2 |
|||
y2 |
= −1, мнимый эллиптический цилиндр. |
|||
+ |
|
|||
b2 |
||||
= −1, пара мнимых параллельных плоскостей.
Аналитическая геометрия. Лекция 28
Приведение к каноническому виду
x2
13. a2
x2
14. a2
x2
15. a2
x2
16. a2
x2
17. a2
=1, пара параллельных плоскостей.
=0, пара совпадающих параллельных плоскостей.
y2 |
|
z2 |
= −1, мнимый эллипсоид. |
|
+ |
|
+ |
|
|
b2 |
c2 |
|||
y2 |
= −1, мнимый эллиптический цилиндр. |
|||
+ |
|
|||
b2 |
||||
= −1, пара мнимых параллельных плоскостей.
Аналитическая геометрия. Лекция 28
Приведение к каноническому виду
x2
13. a2
x2
14. a2
x2
15. a2
x2
16. a2
x2
17. a2
=1, пара параллельных плоскостей.
=0, пара совпадающих параллельных плоскостей.
y2 |
|
z2 |
= −1, мнимый эллипсоид. |
|
+ |
|
+ |
|
|
b2 |
c2 |
|||
y2 |
= −1, мнимый эллиптический цилиндр. |
|||
+ |
|
|||
b2 |
||||
= −1, пара мнимых параллельных плоскостей.
Аналитическая геометрия. Лекция 28
Приведение к каноническому виду
Приведение к каноническому виду
Доказательство.
Пусть поверхность II порядка в некоторой декартовой системе координат имеет уравнение
x |
x |
x y |
|
y |
y |
+ c = 0, |
|
z |
A z |
+ 2(b1 b2 b3) z |
где A симметрическая матрица. Тогда по лемме о приведении симметрической матрицы к диагональному виду, существует декартова система координат, в которой уравнение поверхности примет вид:
λ1x˜ |
2 |
2 |
2 |
˜ |
˜ |
˜ |
|
+ λ2y˜ + λ3z˜ + 2b1x˜ + 2b2y˜ + 2b3z˜ + c˜ = 0, |
|||||
λ1, λ2, λ3 собственные значения матрицы A.
Аналитическая геометрия. Лекция 28
Приведение к каноническому виду
Приведение к каноническому виду
λ1, λ2, λ3 собственные значения матрицы A.
1.Пусть λ1λ2λ3 6= 0. Выделим полные квадраты при каждой из переменных. Получим уравнение
λ1x02 + λ2y02 + λ3z02 + c0 = 0.
•Если λ1, λ2, λ3 одного знака и c0 = 0, уравнение задает точку.
•Если λ1, λ2, λ3 одного знака и c0 6= 0, разделим на c0,
получим
x02 |
y02 |
z2 |
|||
|
+ |
|
+ |
|
= 1. |
−c0 |
−c0 |
−c0 |
|||
λ1 |
λ2 |
λ3 |
|||
При −c0
λ1
При −c0
λ1
> 0, уравнение задает эллипсоид.
< 0, уравнение задает мнимый эллипсоид.
Аналитическая геометрия. Лекция 28
Приведение к каноническому виду
Приведение к каноническому виду
λ1, λ2, λ3 собственные значения матрицы A.
1.Пусть λ1λ2λ3 6= 0. Выделим полные квадраты при каждой из переменных. Получим уравнение
λ1x02 + λ2y02 + λ3z02 + c0 = 0.
•Если λ1, λ2, λ3 одного знака и c0 = 0, уравнение задает точку.
•Если λ1, λ2, λ3 одного знака и c0 6= 0, разделим на c0,
получим
x02 |
y02 |
z2 |
|||
|
+ |
|
+ |
|
= 1. |
−c0 |
−c0 |
−c0 |
|||
λ1 |
λ2 |
λ3 |
|||
При −c0
λ1
При −c0
λ1
> 0, уравнение задает эллипсоид.
< 0, уравнение задает мнимый эллипсоид.
Аналитическая геометрия. Лекция 28
Приведение к каноническому виду
Приведение к каноническому виду
λ1, λ2, λ3 собственные значения матрицы A.
1.Пусть λ1λ2λ3 6= 0. Выделим полные квадраты при каждой из переменных. Получим уравнение
λ1x02 + λ2y02 + λ3z02 + c0 = 0.
•Если λ1, λ2, λ3 одного знака и c0 = 0, уравнение задает точку.
•Если λ1, λ2, λ3 одного знака и c0 6= 0, разделим на c0,
получим
x02 |
y02 |
z2 |
|||
|
+ |
|
+ |
|
= 1. |
−c0 |
−c0 |
−c0 |
|||
λ1 |
λ2 |
λ3 |
|||
При −c0
λ1
При −c0
λ1
> 0, уравнение задает эллипсоид.
< 0, уравнение задает мнимый эллипсоид.
Аналитическая геометрия. Лекция 28
Приведение к каноническому виду
Приведение к каноническому виду
•Если λ1, λ2, λ3 разных знаков, можем считать, что λ1 > 0, λ2 > 0, λ3 < 0, и c0 = 0, уравнение задает эллиптический конус.
•Если λ1 > 0, λ2 > 0, λ3 < 0 и c0 6= 0, разделим на c0, получим
|
|
|
x02 |
|
y02 |
z2 |
||
|
|
|
|
+ |
|
+ |
|
= 1. |
|
|
|
−c0 |
−c0 |
−c0 |
|||
|
|
|
λ1 |
|
λ2 |
λ3 |
||
При −c0 |
> 0, −c0 |
> 0, |
−c0 |
< 0, уравнение задает |
||||
λ1 |
λ2 |
|
|
λ3 |
|
|
|
|
однополостный гиперболоид. |
|
|
||||||
При −c0 |
< 0, −c0 |
< 0, |
−c0 |
> 0, уравнение задает |
||||
λ1 |
λ2 |
|
|
λ3 |
|
|
|
|
двуполостный гиперболоид.
Аналитическая геометрия. Лекция 28
Приведение к каноническому виду
Приведение к каноническому виду
•Если λ1, λ2, λ3 разных знаков, можем считать, что λ1 > 0, λ2 > 0, λ3 < 0, и c0 = 0, уравнение задает эллиптический конус.
•Если λ1 > 0, λ2 > 0, λ3 < 0 и c0 6= 0, разделим на c0, получим
|
|
|
x02 |
|
y02 |
z2 |
||
|
|
|
|
+ |
|
+ |
|
= 1. |
|
|
|
−c0 |
−c0 |
−c0 |
|||
|
|
|
λ1 |
|
λ2 |
λ3 |
||
При −c0 |
> 0, −c0 |
> 0, |
−c0 |
< 0, уравнение задает |
||||
λ1 |
λ2 |
|
|
λ3 |
|
|
|
|
однополостный гиперболоид. |
|
|
||||||
При −c0 |
< 0, −c0 |
< 0, |
−c0 |
> 0, уравнение задает |
||||
λ1 |
λ2 |
|
|
λ3 |
|
|
|
|
двуполостный гиперболоид.
Аналитическая геометрия. Лекция 28
Приведение к каноническому виду
Приведение к каноническому виду
2.Пусть одно из λ1, λ2, λ3 равно 0. Можем считать, что λ1 6= 0, λ2 6= 0, λ3 = 0. Выделим полные квадраты при x˜ и y˜. Получим уравнение
|
|
|
|
λ1x02 + λ2y02 + 2b30 z0 + c0 = 0. |
|
||||||||||||||||
• |
Если b0 |
= 0, выполним замену z00 = z0 |
+ |
c0 |
, x00 |
= x0, |
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||
|
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2b30 |
|
|||
|
y00 = y0, разделим на b30 , получим уравнение |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2z00 = |
x002 |
|
+ |
y002 |
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
−b30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−b30 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
λ1 |
|
|
|
λ2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
−b30 |
|
−b30 |
−b30 |
|
|
|
|
−b30 |
|
|
|
|
|||||||
|
При |
λ1 |
> 0, |
λ2 |
> 0 или |
λ1 |
|
< 0, |
λ2 |
|
< 0 уравнение |
||||||||||
|
задает эллиптический параболоид. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
−b30 |
|
−b30 |
−b30 |
|
|
|
|
−b30 |
|
|
|
|
|||||||
|
При |
|
> 0, |
|
< 0 или |
|
|
< 0, |
|
|
> 0 уравнение |
||||||||||
|
λ1 |
λ2 |
λ1 |
λ2 |
|||||||||||||||||
задает гиперболический параболоид.
Аналитическая геометрия. Лекция 28