Geom / AnGeom_2_1
.pdf
Приведение к каноническому виду
Аналитическая геометрия
Лекция 16. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
Сбродова Елена Александровна
08 февраля 2012 г.
Аналитическая геометрия. Лекция 16
Приведение к каноническому виду
Вспомагательные леммы Теорема
Определение.
Пусть A квадратная матрица размера n × n. Собственным вектором матрицы A называется такой ненулевой вектор ~x = {x1, x2, . . . , xn}, что существует число λ, для которого выполнено равенство
A~x = λ~x.
Число λ называется собственным значением.
Аналитическая геометрия. Лекция 16
Приведение к каноническому виду
Вспомагательные леммы Теорема
Замечание.
Все собственные значения матрицы A являются корнями характеристического многочлена CA(λ) = det(A − λE) матрицы A.
Аналитическая геометрия. Лекция 16
Приведение к каноническому виду
Вспомагательные леммы Теорема
Пример.
1 2
Найти собственные векторы матрицы A = .
2 1
Решение.
Выпишем характеристический многочлен матрицы A.
|
− |
|
|
2 |
1 − λ |
|
CA(λ) = det(A |
|
λE) = det |
|
1 − λ |
2 |
= |
= (1 − λ)(1 − λ) − 2 · 2 = λ2 − 2λ − 3
λ1 = 3, λ2 = −1
Аналитическая геометрия. Лекция 16
Приведение к каноническому виду
Вспомагательные леммы Теорема
Пример.
1 2
Найти собственные векторы матрицы A = .
2 1
Решение.
Выпишем характеристический многочлен матрицы A.
|
− |
|
|
2 |
1 − λ |
|
CA(λ) = det(A |
|
λE) = det |
|
1 − λ |
2 |
= |
= (1 − λ)(1 − λ) − 2 · 2 = λ2 − 2λ − 3
λ1 = 3, λ2 = −1
Аналитическая геометрия. Лекция 16
Приведение к каноническому виду
Вспомагательные леммы Теорема
Пример.
1 2
Найти собственные векторы матрицы A = .
2 1
Решение.
Выпишем характеристический многочлен матрицы A.
|
− |
|
|
2 |
1 − λ |
|
CA(λ) = det(A |
|
λE) = det |
|
1 − λ |
2 |
= |
= (1 − λ)(1 − λ) − 2 · 2 = λ2 − 2λ − 3
λ1 = 3, λ2 = −1
Аналитическая геометрия. Лекция 16
Приведение к каноническому виду
Вспомагательные леммы Теорема
Найти собственные векторы матрицы A = |
1 |
2 |
. |
2 |
1 |
Для каждого собственного значения найдем собственный вектор.
1. λ1 = 3
(A − λE) x2 |
= |
0 |
|
||||
|
|
|
x1 |
|
|
0 |
|
|
2 |
1 − 3 x2 |
0 |
||||
1 |
− 3 |
2 |
|
x1 |
= |
0 |
|
|
2 |
−2 |
x2 |
|
0 |
||
|
−2 |
2 |
|
x1 |
|
= |
0 |
Аналитическая геометрия. Лекция 16
Приведение к каноническому виду
Вспомагательные леммы Теорема
Найти собственные векторы матрицы A = |
1 |
2 |
. |
2 |
1 |
Для каждого собственного значения найдем собственный вектор.
1. λ1 = 3
(A − λE) x2 |
= |
0 |
|
||||
|
|
|
x1 |
|
|
0 |
|
|
2 |
1 − 3 x2 |
0 |
||||
1 |
− 3 |
2 |
|
x1 |
= |
0 |
|
|
2 |
−2 |
x2 |
|
0 |
||
|
−2 |
2 |
|
x1 |
|
= |
0 |
Аналитическая геометрия. Лекция 16
Приведение к каноническому виду
Вспомагательные леммы Теорема
Найти собственные векторы матрицы A = |
1 |
2 |
. |
2 |
1 |
Для каждого собственного значения найдем собственный вектор.
1. λ1 = 3
(A − λE) x2 |
= |
0 |
|
||||
|
|
|
x1 |
|
|
0 |
|
|
2 |
1 − 3 x2 |
0 |
||||
1 |
− 3 |
2 |
|
x1 |
= |
0 |
|
|
2 |
−2 |
x2 |
|
0 |
||
|
−2 |
2 |
|
x1 |
|
= |
0 |
Аналитическая геометрия. Лекция 16
Приведение к каноническому виду
Вспомагательные леммы Теорема
Найти собственные векторы матрицы A = |
1 |
2 |
. |
||||
2 |
1 |
||||||
Решаем полученную систему методом Гаусса. |
|
|
|
||||
|
2 |
−2 |
|
→ |
|
|
|
0 |
|
|
|
||||
|
−2 |
2 |
0 |
|
|
|
|
Аналитическая геометрия. Лекция 16