Geom / AnGeom_14

Эллипс

Гипербола

Аналитическая геометрия

Лекция 14. Эллипс. Гипербола. Парабола

Сбродова Елена Александровна

14 декабря 2011 г.

Аналитическая геометрия. Лекция 14

Эллипс

Гипербола

Эллипс

Определение.

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая чем расстояние между фокусами.

Аналитическая геометрия. Лекция 14

Эллипс

Гипербола

Эллипс

Обозначим: F1,2 фокусы,

2c расстояние между фокусами,

2a сумма расстояний от произвольно точки M (x, y) эллипса до фокусов. По условию 2c < 2a c < a.

Аналитическая геометрия. Лекция 14

Эллипс

Гипербола

Эллипс

Введем прямоугольную систему Oxy координат так, чтобы ось Ox проходила через фокусы F1,2, а центр системы совпадал с серединой отрезка F1F2. Тогда фокусы F1,2 имеют координаты (±c, 0).

Аналитическая геометрия. Лекция 14

Эллипс

Гипербола

Эллипс

Пусть M(x, y) произвольная точка эллипса. Тогда выполнено равенство F1M + F2M = 2a, т. е.

qq

(x + c)2 + y2 + (x − c)2 + y2 = 2a

Преобразуем последнее уравнение.

q 2 q 2

(x + c)2 + y2 = 2a − (x − c)2 + y2

q

(x + c)2 + y2 = 4a2 − 4a (x − c)2 + y2 + (x − c)2 + y2

Аналитическая геометрия. Лекция 14

Эллипс

Гипербола

Эллипс

Пусть M(x, y) произвольная точка эллипса. Тогда выполнено равенство F1M + F2M = 2a, т. е.

qq

(x + c)2 + y2 + (x − c)2 + y2 = 2a

Преобразуем последнее уравнение.

q 2 q 2

(x + c)2 + y2 = 2a − (x − c)2 + y2

q

(x + c)2 + y2 = 4a2 − 4a (x − c)2 + y2 + (x − c)2 + y2

Аналитическая геометрия. Лекция 14

Эллипс

Гипербола

Эллипс

Пусть M(x, y) произвольная точка эллипса. Тогда выполнено равенство F1M + F2M = 2a, т. е.

qq

(x + c)2 + y2 + (x − c)2 + y2 = 2a

Преобразуем последнее уравнение.

q 2 q 2

(x + c)2 + y2 = 2a − (x − c)2 + y2

q

(x + c)2 + y2 = 4a2 − 4a (x − c)2 + y2 + (x − c)2 + y2

Аналитическая геометрия. Лекция 14

Эллипс

Гипербола

Эллипс

q

x2 +2xc+c2 +y2 = 4a2 −4a (x − c)2 + y2 +x2 −2xc+c2 +y2

q

a (x − c)2 + y2 = a2 − xc a2((x − c)2 + y2) = (a2 − xc)2

a2x2 − 2a2xc + a2c2 + a2y2 = a4 − 2a2xc + x2c2

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)

Аналитическая геометрия. Лекция 14

Эллипс

Гипербола

Эллипс

q

x2 +2xc+c2 +y2 = 4a2 −4a (x − c)2 + y2 +x2 −2xc+c2 +y2

q

a (x − c)2 + y2 = a2 − xc a2((x − c)2 + y2) = (a2 − xc)2

a2x2 − 2a2xc + a2c2 + a2y2 = a4 − 2a2xc + x2c2

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)

Аналитическая геометрия. Лекция 14

Эллипс

Гипербола

Эллипс

q

x2 +2xc+c2 +y2 = 4a2 −4a (x − c)2 + y2 +x2 −2xc+c2 +y2

q

a (x − c)2 + y2 = a2 − xc a2((x − c)2 + y2) = (a2 − xc)2

a2x2 − 2a2xc + a2c2 + a2y2 = a4 − 2a2xc + x2c2

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)

Аналитическая геометрия. Лекция 14