Geom / AnGeom_11

Прямая и плоскость в пространстве Взаимное расположение прямых

Аналитическая геометрия

Лекция 10. Взаимное расположение прямых и плоскостей

Сбродова Елена Александровна

23 ноября 2011 г.

Аналитическая геометрия. Лекция 11

Прямая и плоскость в пространстве

Взаимное расположение прямой и плоскости

Взаимное расположение прямых

Взаимное расположение прямой и плоскости

Аналитическая геометрия. Лекция 11

Прямая и плоскость в пространстве

Взаимное расположение прямой и плоскости

Взаимное расположение прямых

Взаимное расположение прямой и плоскости

Теорема о взаимном расположении прямой и плоскости.

Пусть дана плоскость α : Ax + By + Cz + D = 0 и прямая

•l и α пересекаются Aex + Bey + Cez 6= 0;

•l k α Aex + Bey + Cez = 0 и Ax0 + By0 + Cz0 + D 6= 0;

•l α Aex + Bey + Cez = 0 и Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0.

Аналитическая геометрия. Лекция 11

Прямая и плоскость в пространстве

Взаимное расположение прямой и плоскости

Взаимное расположение прямых

Доказательство.

Обозначим через ~e = {ex, ey, ez} направляющий вектор прямой l, ~n = {A, B, C} вектор нормали плоскости α.

Прямая l и плоскость α пересекаются ~e , α ~e 6 ~n. По критерию ортогональности: ~e 6 ~n (~n, ~e) 6= 0.

Аналитическая геометрия. Лекция 11

Прямая и плоскость в пространстве

Взаимное расположение прямой и плоскости

Взаимное расположение прямых

Доказательство.

~e ~n либо l k α, либо l α.

~e ~n Aex + Bey + Cez = 0

Аналитическая геометрия. Лекция 11

Прямая и плоскость в пространстве

Взаимное расположение прямой и плоскости

Взаимное расположение прямых

Доказательство.

Пусть Aex + Bey + Cez = 0.

•l k α M0 6α, т. е. Ax0 + By0 + Cz0 + D 6= 0.

•l α M0 α, т. е. Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0.

Аналитическая геометрия. Лекция 11

Взаимное расположение прямых

совпадают параллельны пересекаются скрещиваются

Аналитическая геометрия. Лекция 11

Взаимное расположение прямых

Теорема о взаимном расположении прямых.

•l1 и l2 совпадают тройки {ex, ey, ez}, {fx, fy, fz} и {x1 − x2, y1 − y2, z1 − z2} пропорциональны;

•l1 и l2 параллельны тройки {ex, ey, ez}, {fx, fy, fz} пропорциональны, но {ex, ey, ez} и

{x1 − x2, y1 − y2, z1 − z2} не пропорциональны;

•l1 и l2 пересекаются тройки {ex, ey, ez} и {fx, fy, fz} не пропорциональны, а векторы {ex, ey, ez}, {fx, fy, fz}

и{x1 − x2, y1 − y2, z1 − z2} компланарны;

•l1 и l2 скрещиваются векторы {ex, ey, ez}, {fx, fy, fz}

и{x1 − x2, y1 − y2, z1 − z2} не компланарны.

Аналитическая геометрия. Лекция 11

Обозначим через ~e = {ex, ey, ez} направляющий вектор

прямой 1, ~ { x y z} прямой 2. l f = f , f , f l

Прямые l1 и l2 совпадают их направляющие векторы и

−−−−→

вектор M2M1 коллинеарны между собой.

По свойству коллинеарных векторов получим, тройки

{ex, ey, ez}, {fx, fy, fz} и {x1 − x2, y1 − y2, z1 − z2}

пропорциональны.

Аналитическая геометрия. Лекция 11

Доказательство.

{fx, fy, fz} пропорциональны, но {ex, ey, ez} и {x1 − x2, y1 − y2, z1 − z2} не пропорциональны.

Аналитическая геометрия. Лекция 11