Geom / AnGeom_13

Преобразование плоскости Преобразование пространства Кривые второго порядка

Аналитическая геометрия

Лекция 13. Матрица перехода

Сбродова Елена Александровна

07 декабря 2011 г.

Аналитическая геометрия. Лекция 13

Преобразование плоскости Преобразование пространства Кривые второго порядка

Теорема о преобразовании аффинной системы координат.

Пусть даны две аффинные системы координат {O, ~e1, ~e2} и

{ 0 ~01 ~02}. Тогда координаты точки в исходной и новой

O , e , e M

системах координат связаны равенством

где матрица перехода от { 1 2} к {~01 ~02}, e

,

e

~e

,

~e

T

Аналитическая геометрия. Лекция 13

Преобразование плоскости Преобразование пространства Кривые второго порядка

Доказательство.

Сначала выполним преобразование, переводящее векторы {~e1, ~e2} в {~e01, ~e02} и оставляющее центр системы неподвижным, затем параллельный перенос системы координат.

Аналитическая геометрия. Лекция 13

Преобразование плоскости Преобразование пространства Кривые второго порядка

Пример.

Новая система координат получена из исходной прямоугольной поворотом на угол π4 и сдвигом в точку с координатами (2, 5). Найдите формулы перехода.

Аналитическая геометрия. Лекция 13

Преобразование плоскости Преобразование пространства Кривые второго порядка

Теорема о преобразовании прямоугольной системы координат.

Пусть даны две прямоугольные системы координат

{ } { 0 ~0 ~0 }

O, ~e1, ~e2 и O , e 1, e 2 . Тогда координаты точки M в исходной и новой системах координат связаны равенством

где ϕ угол поворота,

Аналитическая геометрия. Лекция 13

Преобразование плоскости Преобразование пространства Кривые второго порядка

Доказательство.

Аналитическая геометрия. Лекция 13

Преобразование плоскости Преобразование пространства Кривые второго порядка

Доказательство.

Аналитическая геометрия. Лекция 13

Преобразование плоскости Преобразование пространства Кривые второго порядка

Доказательство.

Выпишем матрицу перехода.

Аналитическая геометрия. Лекция 13

Преобразование плоскости Преобразование пространства Кривые второго порядка

Доказательство.

Выпишем матрицу перехода.

Аналитическая геометрия. Лекция 13

Преобразование плоскости Преобразование пространства Кривые второго порядка

Определение.

Матрица T называется ортогональной, если T −1 = T t.

Аналитическая геометрия. Лекция 13