Geom / AnGeom_10
.pdf
Уравнение плоскости Уравнение прямой в пространстве
Аналитическая геометрия
Лекция 10. Уравнение плоскости
Сбродова Елена Александровна
16 ноября 2011 г.
Аналитическая геометрия. Лекция 10
Уравнение плоскости |
Взаимное расположение плоскостей |
Уравнение прямой в пространстве |
Расстояние от точки до плоскости |
Взаимное расположение плоскостей
пересекаются |
совпадают |
параллельны |
Аналитическая геометрия. Лекция 10
Уравнение плоскости |
Взаимное расположение плоскостей |
Уравнение прямой в пространстве |
Расстояние от точки до плоскости |
Взаимное расположение плоскостей
Теорема о взаимном расположении плоскостей.
Пусть даны две плоскости α : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и
β: A2x + B2y + C2z + D2 = 0. Тогда
•α и β пересекаются (A1, B1, C1) и (A2, B2, C2) не пропорциональны.
•αkβ (A1, B1, C1) и (A2, B2, C2) пропорциональны, но (A1, B1, C1, D1) и (A2, B2, C2, D2) не пропорциональны.
•α = β (A1, B1, C1, D1) и (A2, B2, C2, D2)
пропорциональны.
Аналитическая геометрия. Лекция 10
Уравнение плоскости |
Взаимное расположение плоскостей |
Уравнение прямой в пространстве |
Расстояние от точки до плоскости |
Доказательство.
Обозначим через ~n1 = {A1, B1, C1} и ~n2 = {A2, B2, C2} векторы нормали плоскостей α и β соответственно. Плоскости α и β пересекаются ~n1 , ~n2 (A1, B1, C1) и (A2, B2, C2) не пропорциональны.
Аналитическая геометрия. Лекция 10
Уравнение плоскости |
Взаимное расположение плоскостей |
Уравнение прямой в пространстве |
Расстояние от точки до плоскости |
Доказательство.
~n1 k ~n2 либо α = β, либо α k β
Рассмотрим систему |
A2x + B2y + C2z + D2 |
= 0 . |
|
A1x + B1y + C1z + D1 |
= 0 |
Аналитическая геометрия. Лекция 10
Уравнение плоскости |
Взаимное расположение плоскостей |
Уравнение прямой в пространстве |
Расстояние от точки до плоскости |
Доказательство.
A1x + B1y + C1z + D1 = 0 .
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Так как (A1, B1, C1) и (A2, B2, C2) пропорциональны, возможны два случая: (A1, B1, C1, D1) и (A2, B2, C2, D2) пропорциональны и не пропорциональны.
Первый случай равносилен ситуации α = β, второй α k β. Что и требовалось доказать.
Аналитическая геометрия. Лекция 10
Уравнение плоскости |
Взаимное расположение плоскостей |
Уравнение прямой в пространстве |
Расстояние от точки до плоскости |
Расстояние от точки до плоскости
Теорема о расстоянии от точки до плоскости.
Пусть дана плоскость α : Ax + By + Cz + D = 0 и точка M0 = (x0, y0, z0). Тогда расстояние от точки M0 до плоскости α вычисляется по формуле
d(M, α) = |
|Ax0 + By0 + Cz0 + D| |
. |
||
|
|
|
||
|
√A2 + B2 + C2 |
|||
Аналитическая геометрия. Лекция 10
Уравнение плоскости |
Взаимное расположение плоскостей |
Уравнение прямой в пространстве |
Расстояние от точки до плоскости |
Расстояние от точки до плоскости
Доказательство.
Расстояние d от точки M0 = (x0, y0, z0) до плоскости α равно длине перпендикуляра, опущенного из M0 на α.
Аналитическая геометрия. Лекция 10
Уравнение плоскости |
Взаимное расположение плоскостей |
Уравнение прямой в пространстве |
Расстояние от точки до плоскости |
Расстояние от точки до плоскости
Пусть M1 = (x1, y1, z1) произвольная точка плоскости α.
−−−−→
Тогда d = |Пр~nM1M0|.
Аналитическая геометрия. Лекция 10
Уравнение плоскости |
Взаимное расположение плоскостей |
Уравнение прямой в пространстве |
Расстояние от точки до плоскости |
Расстояние от точки до плоскости
Вектор нормали к плоскости α возьмем ~n = {A, B, C}.
−−−−→
M1M0 = {x0 − x1, y0 − y1, z0 − z1}.
Тогда по свойству скалярного произведения
d = |
|
M M |
= |
| |
(~n, |
−−−1 −→0 |
= |
||
|Пр~n |
−−−−→ |
|
|
M M ) |
| |
|
|||
|
1 0| |
|
|
|
|
~n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| | |
|
|
= |A(x0 − x1)√+ B(y0 − y1) + C(z0 − z1)| =
A2 + B2 + C2
Аналитическая геометрия. Лекция 10