Geom / AnGeom_12
.pdf
Скрещивающиеся прямые Преобразование плоскости
Аналитическая геометрия
Лекция 12. Скрещивающиеся прямые
Сбродова Елена Александровна
30 ноября 2011 г.
Аналитическая геометрия. Лекция 12
Скрещивающиеся прямые
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Преобразование плоскости
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Замечание.
Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра, что совпадает с расстоянием между двумя параллельными плоскостями, в которых лежат эти прямые.
Аналитическая геометрия. Лекция 12
Скрещивающиеся прямые
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Преобразование плоскости
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Теорема о расстоянии между скрещивающимися прямыми.
Пусть даны две скрещивающиеся прямые
l1 : |
x−x1 |
= y−y1 |
= z−z1 и l2 |
: |
x−x2 = y−y2 |
= z−z2 . Тогда |
||||||
|
ex |
ey |
ez |
|
fx |
fy |
|
|
|
fz |
||
расстояние между l1 и l2 равно |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
< ~e, f, |
−−−−→ |
> |
|
|
|||
|
|
|
|
| |
|
~ |
M |
M |
2 |
| |
|
|
|
|
|
d(l1, l2) = |
|
|
1 |
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|[~e, f]| |
|
|
|
|
||
Аналитическая геометрия. Лекция 12
Скрещивающиеся прямые
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Преобразование плоскости
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Доказательство.
Достроим до параллелепипеда.
Тогда расстояние между скрещивающимися прямыми равно
высоте построенного параллелепипеда: d = Vпарал. . Sпарал.
Аналитическая геометрия. Лекция 12
Скрещивающиеся прямые
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Преобразование плоскости
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Доказательство.
По свойствам векторного и смешанного произведения
получим |
V |
|
|
|
~ |
M M > |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
парал. |
|
| |
< ~e, f, |
−−−−→ |
| |
|
|
d = |
|
= |
|
1 2 |
. |
||||
S |
парал. |
|
|
~ |
| |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
[~e, f] |
|
|
|||
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
Аналитическая геометрия. Лекция 12
Скрещивающиеся прямые
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Преобразование плоскости
Пример.
Определить взаимное расположение прямых
l1 |
: x−1 |
= y−1 |
= z−1 |
и l2 |
: x−2 |
= y+1 |
= z . |
|
1 |
2 |
3 |
|
−1 |
0 |
1 |
Найти расстояние между прямыми.
Аналитическая геометрия. Лекция 12
Скрещивающиеся прямые |
Параллельный перенос |
Преобразование плоскости |
Аффинные системы координат с общим центром |
Параллельный перенос
Аналитическая геометрия. Лекция 12
Скрещивающиеся прямые |
Параллельный перенос |
Преобразование плоскости |
Аффинные системы координат с общим центром |
Параллельный перенос
Аналитическая геометрия. Лекция 12
Скрещивающиеся прямые |
Параллельный перенос |
Преобразование плоскости |
Аффинные системы координат с общим центром |
Параллельный перенос
Теорема о параллельном переносе аффинной системы координат.
Пусть центр O0 новой системы координат {O0, ~e1, ~e2} имеет координаты (x0, y0) в исходной {O, ~e1, ~e2} системе координат. Тогда координаты точки M в исходной и новой системах координат связаны равенством
y |
= |
y00 |
+ |
y0 |
. |
x |
|
x |
|
x0 |
|
Аналитическая геометрия. Лекция 12
Скрещивающиеся прямые |
Параллельный перенос |
Преобразование плоскости |
Аффинные системы координат с общим центром |
Доказательство.
OM = OO−−→ |
+ O−−−M→ |
x |
= x0 |
+ x0 |
. |
|
−−→ |
0 |
0 |
y |
y0 |
y0 |
|
Аналитическая геометрия. Лекция 12