Geom / AnGeom_15
.pdf
Директориальное свойство
Парабола
Оптическое свойство
Аналитическая геометрия
Лекция 15. Эллипс. Гипербола. Парабола
Сбродова Елена Александровна
21 декабря 2011 г.
Аналитическая геометрия. Лекция 15
Директориальное свойство
Парабола
Оптическое свойство
Парабола
Определение.
Параболой называется геометрическое место точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой
директрисой.
Расстояние от фокуса до директрисы называется фокальным параметром и обозначается через p.
Аналитическая геометрия. Лекция 15
Директориальное свойство
Парабола
Оптическое свойство
Парабола
Обозначим: F фокус,
p расстояние между фокусом и директрисой,
Аналитическая геометрия. Лекция 15
Директориальное свойство
Парабола
Оптическое свойство
Парабола
Введем прямоугольную систему Oxy координат так, чтобы ось Ox проходила через фокус F перпендикулярно директрисе l. Направление оси Ox выбрано от директрисы к фокусу. Центр системы совпадает с серединой отрезка между фокусом и директрисой. Ось Oy параллельна директрисе.
Фокус F имеет координаты (p2 , 0). Директриса l задается уравнением x = −p2 .
Аналитическая геометрия. Лекция 15
Директориальное свойство
Парабола
Оптическое свойство
Парабола
Пусть M(x, y) произвольная точка параболы. Тогда выполнено равенство F M = d(M, l), т. е.
r
(x − p2)2 + y2 = |x + p2|
Преобразуем последнее уравнение.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
r(x − 2)2 + y2 |
= |x + 2 |
| |
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(x − |
p |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
p2 |
|
|||||
|
) |
+ y |
= x |
+ px + |
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
||||||||||
Аналитическая геометрия. Лекция 15
Директориальное свойство
Парабола
Оптическое свойство
Парабола
Пусть M(x, y) произвольная точка параболы. Тогда выполнено равенство F M = d(M, l), т. е.
r
(x − p2)2 + y2 = |x + p2|
Преобразуем последнее уравнение.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
r(x − 2)2 + y2 |
= |x + 2 |
| |
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(x − |
p |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
p2 |
|
|||||
|
) |
+ y |
= x |
+ px + |
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
||||||||||
Аналитическая геометрия. Лекция 15
Директориальное свойство
Парабола
Оптическое свойство
Парабола
Пусть M(x, y) произвольная точка параболы. Тогда выполнено равенство F M = d(M, l), т. е.
r
(x − p2)2 + y2 = |x + p2|
Преобразуем последнее уравнение.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
r(x − 2)2 + y2 |
= |x + 2 |
| |
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(x − |
p |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
p2 |
|
|||||
|
) |
+ y |
= x |
+ px + |
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
||||||||||
Аналитическая геометрия. Лекция 15
Директориальное свойство
Парабола
Оптическое свойство
Парабола
|
p2 |
p2 |
|
x2 − px + |
|
+ y2 = x2 + px + |
|
4 |
4 |
||
y2 = 2px
Последнее уравнение равносильно исходному.
Оно называется каноническим уравнением параболы. Заметим, что p ≥ 0.
Аналитическая геометрия. Лекция 15
Директориальное свойство
Парабола
Оптическое свойство
Парабола
|
p2 |
p2 |
|
x2 − px + |
|
+ y2 = x2 + px + |
|
4 |
4 |
||
y2 = 2px
Последнее уравнение равносильно исходному.
Оно называется каноническим уравнением параболы. Заметим, что p ≥ 0.
Аналитическая геометрия. Лекция 15
Директориальное свойство
Парабола
Оптическое свойство
Форма параболы
Уравнение параболы y2 = 2px содержит переменную y только во второй степени, поэтому, если точка (x, y) принадлежит параболе, то ей также принадлежит точка (x, −y). Отсюда следует, что парабола симметрична относительно оси Ox.
Аналитическая геометрия. Лекция 15