Geom / AnGeom_10

Расстояние от точки до плоскости

= |Ax0 + By0 +√Cz0 − (Ax1 + By1 + Cz1)| A2 + B2 + C2

Так как M1 = (x1, y1, z1) принадлежит α, то

Ax1 + By1 + Cz1 = −D. Подставляя в наше равенство, получим

Аналитическая геометрия. Лекция 10

Расстояние от точки до плоскости

Пример.

Найти расстояние от точки M = (1, 2, 3) до плоскости

α : x + 2y − 2z − 2 = 0.

Аналитическая геометрия. Лекция 10

Уравнение плоскости

Параметрическое уравнение прямой

Уравнение прямой в пространстве

Каноническое уравнение прямой Прямая как линия пересечения плоскостей

Уравнение прямой в пространстве

Теорема о параметрическом уравнении прямой.

Пусть прямая l имеет направляющий вектор ~e = {ex, ey, ez} и проходит через точку M0 = (x0, y0, z0). Тогда l задается

Аналитическая геометрия. Лекция 10

Уравнение плоскости

Параметрическое уравнение прямой

Уравнение прямой в пространстве

Каноническое уравнение прямой Прямая как линия пересечения плоскостей

Доказательство.

Точка M(x, y, z) лежит на прямой l тогда и только тогда,

−−−→

когда M0M k ~e.

Переходя к координатам, получим равенство

x − x0 = tex y − y0 = tey

z − z0 = tez

Что и требовалось доказать.

Аналитическая геометрия. Лекция 10

Уравнение плоскости

Параметрическое уравнение прямой

Уравнение прямой в пространстве

Каноническое уравнение прямой Прямая как линия пересечения плоскостей

Каноническое уравнение прямой

Теорема о каноническом уравнении прямой.

Пусть прямая l имеет направляющий вектор ~e = {ex, ey, ez} и проходит через точку M = (x0, y0, z0). Тогда прямая l задается уравнением

называемым каноническим.

Аналитическая геометрия. Лекция 10

Уравнение плоскости

Параметрическое уравнение прямой

Уравнение прямой в пространстве

Каноническое уравнение прямой Прямая как линия пересечения плоскостей

Каноническое уравнение прямой

Доказательство.

Параметрическое уравнение прямой l имеет вид

x = x0 + tex y = y0 + teyz = z0 + tez

Выразим параметр t из всех уравнений:

и приравняем:

Аналитическая геометрия. Лекция 10

Уравнение плоскости

Параметрическое уравнение прямой

Уравнение прямой в пространстве

Каноническое уравнение прямой Прямая как линия пересечения плоскостей

Каноническое уравнение прямой

Что и требовалось доказать.

Аналитическая геометрия. Лекция 10

Уравнение плоскости

Параметрическое уравнение прямой

Уравнение прямой в пространстве

Каноническое уравнение прямой Прямая как линия пересечения плоскостей

Прямая как линия пересечения плоскостей

Система уравнений

A1x + B1y + C1z + D1 = 0 ,

A2x + B2y + C2z + D2 = 0

где A21 + B12 + C12 6= 0, A22 + B22 + C22 6= 0, тройки (A1, B1, C1)

и (A2, B2, C2) не пропорциональны, задает прямую в пространстве. Данный вид уравнения называется общим.

Аналитическая геометрия. Лекция 10

Уравнение плоскости

Параметрическое уравнение прямой

Уравнение прямой в пространстве

Каноническое уравнение прямой Прямая как линия пересечения плоскостей

Уравнение прямой в пространстве

Пример.

Прямая l задана линией пересечения плоскостей

2x − 3y + z + 1 = 0 . x + 2y + 5 = 0

Найти каноническое и параметрическое уравнения прямой l.

Аналитическая геометрия. Лекция 10

Уравнение плоскости

Параметрическое уравнение прямой

Уравнение прямой в пространстве

Каноническое уравнение прямой Прямая как линия пересечения плоскостей

Уравнение прямой в пространстве

Пример.

Найти уравнения прямых, проходящих через координатные оси.

Аналитическая геометрия. Лекция 10