Geom / AnGeom_2_1
.pdf
Приведение к каноническому виду
Вспомагательные леммы Теорема
λ2 − (a + c)λ + (ac − b2) = 0
D = (a + c)2 − 4(ac − b2) = a2 + 2ac + c2 − 4ac + 4b2 =
= a2 − 2ac + c2 + 4b2 = (a − c)2 + 4b2 ≥ 0
D = 0 a = c и b = 0. В этом случае A диагональная
матрица. Возьмем T = |
1 |
0 |
. |
|
0 |
1 |
|||
|
|
D > 0. Тогда существуют два различных корня λ1 6= λ2.
Аналитическая геометрия. Лекция 16
Приведение к каноническому виду
Вспомагательные леммы Теорема
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим через ~e и f собственные векторы, отвечающие |
|||||||||
собственным значениям λ1 и λ2, соответственно. |
|||||||||
|
|
|
~e |
|
|
|
~ |
|
|
Возьмем векторы e~0 |
= |
|
|
и f~0 |
= |
f |
. Тогда {e~0, f~0} |
||
|
~e |
| |
~ |
|
|||||
|
|
| |
|
|
|f| |
|
|||
ортонормированный базис. |
|
|
|
|
|||||
ex0 |
fx0 |
|
. |
|
|
|
|
||
Возьмем T = ey0 |
fy0 |
|
|
|
|
|
|||
Тогда T t = T −1.
Аналитическая геометрия. Лекция 16
Приведение к каноническому виду
Вспомагательные леммы Теорема
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим через ~e и f собственные векторы, отвечающие |
|||||||||
собственным значениям λ1 и λ2, соответственно. |
|||||||||
|
|
|
~e |
|
|
|
~ |
|
|
Возьмем векторы e~0 |
= |
|
|
и f~0 |
= |
f |
. Тогда {e~0, f~0} |
||
|
~e |
| |
~ |
|
|||||
|
|
| |
|
|
|f| |
|
|||
ортонормированный базис. |
|
|
|
|
|||||
ex0 |
fx0 |
|
. |
|
|
|
|
||
Возьмем T = ey0 |
fy0 |
|
|
|
|
|
|||
Тогда T t = T −1.
Аналитическая геометрия. Лекция 16
Приведение к каноническому виду
Вспомагательные леммы Теорема
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим через ~e и f собственные векторы, отвечающие |
|||||||||
собственным значениям λ1 и λ2, соответственно. |
|||||||||
|
|
|
~e |
|
|
|
~ |
|
|
Возьмем векторы e~0 |
= |
|
|
и f~0 |
= |
f |
. Тогда {e~0, f~0} |
||
|
~e |
| |
~ |
|
|||||
|
|
| |
|
|
|f| |
|
|||
ортонормированный базис. |
|
|
|
|
|||||
ex0 |
fx0 |
|
. |
|
|
|
|
||
Возьмем T = ey0 |
fy0 |
|
|
|
|
|
|||
Тогда T t = T −1.
Аналитическая геометрия. Лекция 16
Приведение к каноническому виду
Вспомагательные леммы Теорема
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим через ~e и f собственные векторы, отвечающие |
|||||||||
собственным значениям λ1 и λ2, соответственно. |
|||||||||
|
|
|
~e |
|
|
|
~ |
|
|
Возьмем векторы e~0 |
= |
|
|
и f~0 |
= |
f |
. Тогда {e~0, f~0} |
||
|
~e |
| |
~ |
|
|||||
|
|
| |
|
|
|f| |
|
|||
ортонормированный базис. |
|
|
|
|
|||||
ex0 |
fx0 |
|
. |
|
|
|
|
||
Возьмем T = ey0 |
fy0 |
|
|
|
|
|
|||
Тогда T t = T −1.
Аналитическая геометрия. Лекция 16
Приведение к каноническому виду
Вспомагательные леммы Теорема
|
|
|
|
|
λ1 |
0 |
|
|
|
|
|
Основное равенство T tAT = |
0 |
λ2 |
докажем, доказав |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
λ1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
равенство AT = T |
. |
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
λ2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ex0 |
fx0 |
= |
λ1ex0 |
λ2fx0 |
|
|
|
|
|
AT = A ey0 |
fy0 |
λ1ey0 |
λ2fy0 |
|
|
|||||
T |
λ1 0 |
|
ex0 |
fx0 |
|
λ1 |
0 |
= |
λ1ex0 |
λ2fx0 |
|
0 λ2 = |
ey0 |
fy0 |
0 λ2 |
λ1ey0 |
λ2fy0 |
||||||
Аналитическая геометрия. Лекция 16
Приведение к каноническому виду
Вспомагательные леммы Теорема
|
|
|
|
|
λ1 |
0 |
|
|
|
|
|
Основное равенство T tAT = |
0 |
λ2 |
докажем, доказав |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
λ1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
равенство AT = T |
. |
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
λ2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ex0 |
fx0 |
= |
λ1ex0 |
λ2fx0 |
|
|
|
|
|
AT = A ey0 |
fy0 |
λ1ey0 |
λ2fy0 |
|
|
|||||
T |
λ1 0 |
|
ex0 |
fx0 |
|
λ1 |
0 |
= |
λ1ex0 |
λ2fx0 |
|
0 λ2 = |
ey0 |
fy0 |
0 λ2 |
λ1ey0 |
λ2fy0 |
||||||
Аналитическая геометрия. Лекция 16
Приведение к каноническому виду
Вспомагательные леммы Теорема
|
|
|
|
|
λ1 |
0 |
|
|
|
|
|
Основное равенство T tAT = |
0 |
λ2 |
докажем, доказав |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
λ1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
равенство AT = T |
. |
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
λ2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ex0 |
fx0 |
= |
λ1ex0 |
λ2fx0 |
|
|
|
|
|
AT = A ey0 |
fy0 |
λ1ey0 |
λ2fy0 |
|
|
|||||
T |
λ1 0 |
|
ex0 |
fx0 |
|
λ1 |
0 |
= |
λ1ex0 |
λ2fx0 |
|
0 λ2 = |
ey0 |
fy0 |
0 λ2 |
λ1ey0 |
λ2fy0 |
||||||
Аналитическая геометрия. Лекция 16
Приведение к каноническому виду
Вспомагательные леммы Теорема
Теорема о приведении уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
Пусть дана кривая второго порядка. Тогда существует декартова система координат, называемая канонической, в которой кривая имеет одно из следующих уравнений:
1.
x2
a2
2.
x2
a2
3. y2
x2
4. a2
5.
x2
a2
+
y2
b2
y2
− b2
= 2px, p ≥ 0, парабола.
y2
+ b2 = 0, a ≥ b ≥ 0, точка.
y2
+ b2 = −1, a ≥ b ≥ 0, мнимый эллипс.
Аналитическая геометрия. Лекция 16
Приведение к каноническому виду
Вспомагательные леммы Теорема
Теорема о приведении уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
Пусть дана кривая второго порядка. Тогда существует декартова система координат, называемая канонической, в которой кривая имеет одно из следующих уравнений:
1.
x2
a2
2.
x2
a2
3. y2
x2
4. a2
5.
x2
a2
+
y2
b2
y2
− b2
= 2px, p ≥ 0, парабола.
y2
+ b2 = 0, a ≥ b ≥ 0, точка.
y2
+ b2 = −1, a ≥ b ≥ 0, мнимый эллипс.
Аналитическая геометрия. Лекция 16