Geom / AnGeom_2
.pdf
Системы координат Координаты вектора
Определение
Линейная зависимость и независимость векторов
Свойства линейной независимости
Определение.
→− →− →−
Векторы a 1, a 2, . . . , a n называются линейно зависимыми, если существует набор α1, α2, . . . , αn чисел не все равные
|
α |
a |
|
+ α |
a |
|
+ + α a |
= |
0 |
|
|
нулю, при котором |
1 |
2 |
→− |
. |
|||||||
|
1→− |
|
2→− |
· · · |
n→− n |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример.
a |
= {1, 2, 3}, |
a |
= |
{ |
0, |
− |
1, 2 |
a |
= |
{ |
1, 1, 5 |
}. |
→− 1 |
→− 2 |
|
|
|
}, →− 3 |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вектор {→− 1} является линейно независимым, так как в |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
0 |
|
противном случае нашлось бы |
α |
|
= 0 |
α |
|
a |
= →− |
, т.е. |
||||
|
1 |
|
, что |
|
1 |
→− 1 |
|
|||||
a |
= →− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→− 1 |
0 |
, что не верно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
a |
, a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторы {→− 1 |
→− 2} является линейно независимым, так как |
|||||||||||
иначе нашлись бы α1 и α2 одновременно не равные 0, что
α |
|
a |
|
+ α |
|
a |
|
= |
0 |
|
α |
a |
|
= α |
a |
|
1 |
1 |
2 |
2 |
→− |
, т.е. |
1 |
→− |
1 |
− 2 |
→− |
2, что не верно, так |
|||||
|
→− |
|
→− |
|
|
как координаты векторов не пропорциональны.
Аналитическая геометрия. Лекция 2
Системы координат Координаты вектора
Определение
Линейная зависимость и независимость векторов
Свойства линейной независимости
Определение.
→− →− →−
Векторы a 1, a 2, . . . , a n называются линейно зависимыми, если существует набор α1, α2, . . . , αn чисел не все равные
|
α |
a |
|
+ α |
a |
|
+ + α a |
= |
0 |
|
|
нулю, при котором |
1 |
2 |
→− |
. |
|||||||
|
1→− |
|
2→− |
· · · |
n→− n |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример.
a |
= {1, 2, 3}, |
a |
= |
{ |
0, |
− |
1, 2 |
a |
= |
{ |
1, 1, 5 |
}. |
→− 1 |
→− 2 |
|
|
|
}, →− 3 |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вектор {→− 1} является линейно независимым, так как в |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
0 |
|
противном случае нашлось бы |
α |
|
= 0 |
α |
|
a |
= →− |
, т.е. |
||||
|
1 |
|
, что |
|
1 |
→− 1 |
|
|||||
a |
= →− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→− 1 |
0 |
, что не верно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
a |
, a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторы {→− 1 |
→− 2} является линейно независимым, так как |
|||||||||||
иначе нашлись бы α1 и α2 одновременно не равные 0, что
α |
|
a |
|
+ α |
|
a |
|
= |
0 |
|
α |
a |
|
= α |
a |
|
1 |
1 |
2 |
2 |
→− |
, т.е. |
1 |
→− |
1 |
− 2 |
→− |
2, что не верно, так |
|||||
|
→− |
|
→− |
|
|
как координаты векторов не пропорциональны.
Аналитическая геометрия. Лекция 2
Системы координат Координаты вектора
Определение
Линейная зависимость и независимость векторов
Свойства линейной независимости
Пример.
→− 1 |
= |
{ |
1, 2, |
3}, |
→− 2 |
= |
{ |
0, |
− |
1, 2 |
}, |
→− 3 |
= |
{ |
1, 1, 5 |
}. |
|||||
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|||||||||
|
|
|
a |
, |
a |
|
, |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторы {→− 1 |
|
→− |
2 |
|
→− 3} является линейно зависимым, так |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
+ a |
= a |
3. Т.е. для |
||||
как имеет место равенство →− 1 |
|
→− 2 |
|
→− |
|||||||||||||||||
ненулевого набора чисел 1, 1, −1 выполнено |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
· →− 1 |
|
|
· →− 2 |
|
|
− · →− 3 |
0 . |
||||||||
|
|
|
|
|
1 a + 1 a + ( 1) a = →− |
||||||||||||||||
Аналитическая геометрия. Лекция 2
Системы координат Координаты вектора
Определение
Линейная зависимость и независимость векторов
Свойства линейной независимости
Свойства линейной независимости
1.Если система векторов содержит нулевой вектор, то эта система является линейно зависимой.
2.Если система является линейно зависимой, то, по крайней мере, один вектор можно выразить через линейную комбинацию остальных векторов.
3.Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то данная система является линейно зависимой.
4.Любая подсистема линейно независимой системы векторов является линейно независимой.
Аналитическая геометрия. Лекция 2
Системы координат Координаты вектора
Определение
Линейная зависимость и независимость векторов
Свойства линейной независимости
Свойства линейной независимости
1.Если система векторов содержит нулевой вектор, то эта система является линейно зависимой.
2.Если система является линейно зависимой, то, по крайней мере, один вектор можно выразить через линейную комбинацию остальных векторов.
3.Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то данная система является линейно зависимой.
4.Любая подсистема линейно независимой системы векторов является линейно независимой.
Аналитическая геометрия. Лекция 2
Системы координат Координаты вектора
Определение
Линейная зависимость и независимость векторов
Свойства линейной независимости
Свойства линейной независимости
1.Если система векторов содержит нулевой вектор, то эта система является линейно зависимой.
2.Если система является линейно зависимой, то, по крайней мере, один вектор можно выразить через линейную комбинацию остальных векторов.
3.Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то данная система является линейно зависимой.
4.Любая подсистема линейно независимой системы векторов является линейно независимой.
Аналитическая геометрия. Лекция 2
Системы координат Координаты вектора
Определение
Линейная зависимость и независимость векторов
Свойства линейной независимости
Свойства линейной независимости
1.Если система векторов содержит нулевой вектор, то эта система является линейно зависимой.
2.Если система является линейно зависимой, то, по крайней мере, один вектор можно выразить через линейную комбинацию остальных векторов.
3.Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то данная система является линейно зависимой.
4.Любая подсистема линейно независимой системы векторов является линейно независимой.
Аналитическая геометрия. Лекция 2
Системы координат Координаты вектора
Определение
Линейная зависимость и независимость векторов
Свойства линейной независимости
1. Если система векторов содержит нулевой вектор, то эта система является линейно зависимой.
a |
|
a |
, . . . |
, |
a |
|
|
|
|
|
|
Пусть система {→− 1, |
→− 2 |
→− |
|
→− n} векторов содержит нулевой |
|||||||
a |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектор, например →− i |
|
0 |
. Тогда имеет место равенство |
||||||||
|
|
||||||||||
· →− 1 · →− 2 |
· · · |
|
|
· →− i |
· · · · →− n |
0 , |
|||||
0 a + 0 a + + 1 a + + 0 a = →− |
|||||||||||
где все коэффициенты, за исключением i-го, равны 0. |
|||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
, . . . |
a |
|
Следовательно, система {→− 1 |
, →− |
2 |
|
, →− n} является линейно |
|||||||
зависимой.
Аналитическая геометрия. Лекция 2
Системы координат Координаты вектора
Определение
Линейная зависимость и независимость векторов
Свойства линейной независимости
2. Если система является линейно зависимой, то, по крайней мере, один вектор можно выразить через линейную комбинацию остальных векторов.
a |
1, |
a |
|
, . . . |
a |
Пусть система {→− |
→− |
2 |
|
, →− n} векторов является линейно |
зависимой. Тогда существует такой набор α1, α2, . . . , αn чисел, не все равные нулю, например αi 6= 0, что имеет место равенство:
α |
1 |
· |
→− |
1 |
|
2 · →− 2 |
· · · |
i · →− i · · · |
n · →− n |
0 . |
||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
+ α a + + α a + + α a = →− |
|||||||||
Тогда |
|
|
|
→− i |
|
|
|
− 1 |
→− 1 − |
2→− 2 − · · · − |
n→− n |
|
|
|
|
|
|
|
|
αi |
|
|
|||||||
|
|
|
|
a |
= |
1 |
( |
α a |
α a |
α a |
). |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Что и требуется.
Аналитическая геометрия. Лекция 2
Системы координат Координаты вектора
Определение
Линейная зависимость и независимость векторов
Свойства линейной независимости
3. Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то данная система является линейно зависимой.
a |
1, |
a |
|
, . . . |
a |
|
|
|
|
|
Пусть система {→− |
→− |
2 |
|
, →− n} векторов содержит |
||||||
|
|
|
|
|
a |
, |
a |
, . . . |
a |
}. Тогда |
линейно зависимую подсистему {→− s1 |
→− s2 |
|
, →− sk |
|||||||
существует такой набор αs1 , αs2 , . . . , αsk чисел, не все равные нулю, например αsi 6= 0, что имеет место равенство:
s1 |
→− s1 |
s2 |
→− s2 |
· · · |
si →− si |
· · · |
sk →− sk |
0 . |
α |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ α a + + α a + + α a = →− |
||||||
Дополним нулями наш набор. Получим ненулевой набор чисел, при котором имеет место равенство
1→− 1 2→− 2 |
· · · |
si →− si |
|
· · · |
n→− n |
|
α a + α a + |
+ α a |
+ |
|
0 . |
||
|
|
|
|
+ α a = →− |
||
Что и требуется.
Аналитическая геометрия. Лекция 2