Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Geom / AnGeom_3

.pdf
Скачиваний:
74
Добавлен:
23.03.2015
Размер:
733.7 Кб
Скачать

Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Скалярное произведение векторов

Деление отрезка в заданном отношении

Доказательство.

Пусть точка M(x, y, z) делит отрезок AB в отношении λ.

−−→ −−→

Тогда, по определению, AM = λMB.

−−→

Так как AM = {x − x1, y − y1, z − z1},

−−→

MB = {x2 − x, y2 − y, z2 − z}, то имеют место равенства:

x − x1 = λ(x2 − x)

 

x(1 + λ) = x1 + λx2

 

z z1

= λ(z2

z)

 

z(1 + λ) = z1

+ λz2

y y1

= λ(y2

y)

 

 

y(1 + λ) = y1

+ λy2

 

x =

x1 +λx2

, y =

y1 + λy2

, z =

z1 + λz2

.

 

1 + λ

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + λ

1 + λ

 

Аналитическая геометрия. Лекция 3

Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Скалярное произведение векторов

Деление отрезка в заданном отношении

Доказательство.

Пусть точка M(x, y, z) делит отрезок AB в отношении λ.

−−→ −−→

Тогда, по определению, AM = λMB.

−−→

Так как AM = {x − x1, y − y1, z − z1},

−−→

MB = {x2 − x, y2 − y, z2 − z}, то имеют место равенства:

x − x1 = λ(x2 − x)

 

x(1 + λ) = x1 + λx2

 

z z1

= λ(z2

z)

 

z(1 + λ) = z1

+ λz2

y y1

= λ(y2

y)

 

 

y(1 + λ) = y1

+ λy2

 

x =

x1 +λx2

, y =

y1 + λy2

, z =

z1 + λz2

.

 

1 + λ

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + λ

1 + λ

 

Аналитическая геометрия. Лекция 3

Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Скалярное произведение векторов

Деление отрезка в заданном отношении

Доказательство.

Пусть точка M(x, y, z) делит отрезок AB в отношении λ.

−−→ −−→

Тогда, по определению, AM = λMB.

−−→

Так как AM = {x − x1, y − y1, z − z1},

−−→

MB = {x2 − x, y2 − y, z2 − z}, то имеют место равенства:

x − x1 = λ(x2 − x)

 

x(1 + λ) = x1 + λx2

 

z z1

= λ(z2

z)

 

z(1 + λ) = z1

+ λz2

y y1

= λ(y2

y)

 

 

y(1 + λ) = y1

+ λy2

 

x =

x1 +λx2

, y =

y1 + λy2

, z =

z1 + λz2

.

 

1 + λ

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + λ

1 + λ

 

Аналитическая геометрия. Лекция 3

Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Свойства скалярного произведения

Скалярное произведение векторов

Длина вектора

Утверждение.

Пусть в прямоугольной системе координат вектор ~v имеет координаты {x1, x2, x3}. Тогда длина вектора ~v равна

q

x21 + x22 + x23.

Аналитическая геометрия. Лекция 3

Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Свойства скалярного произведения

Скалярное произведение векторов

Угол между двумя векторами

Определение.

Углом между двумя векторами и ~ называется кратчайший

~a b

~ ~

угол поворота от ~a к b, если ~a и b отложены от одной точки.

Аналитическая геометрия. Лекция 3

Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Свойства скалярного произведения

Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов

Определение.

 

~

Скалярным произведением векторов ~a и b называется число,

~

~

равное ~a||b| cos(~a b).

Обозначение.|

c

~ скалярным произведением векторов.

(~a, b)

Аналитическая геометрия. Лекция 3

Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Свойства скалярного произведения

Скалярное произведение векторов

Свойства скалярного произведения

1.

Симметричность

 

 

 

~

~

~

 

 

~a b (~a, b) = (b, ~a)

 

2.

Линейность

 

 

 

 

 

~

 

~

~

 

1) ~a b ~c

 

(~a + b, ~c) = (~a, ~c) + (b, ~c)

 

~

 

~

~

 

2) ~a b α

 

(α~a, b) = α(~a, b)

3. Положительная определенность

6 ~

1)~a = 0 (~a, ~a) > 0

~

2) ~a (~a, ~a) = 0 ~a = 0

Аналитическая геометрия. Лекция 3

Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Свойства скалярного произведения

Скалярное произведение векторов

Свойства скалярного произведения

1.

Симметричность

 

 

 

~

~

~

 

 

~a b (~a, b) = (b, ~a)

 

2.

Линейность

 

 

 

 

 

~

 

~

~

 

1) ~a b ~c

 

(~a + b, ~c) = (~a, ~c) + (b, ~c)

 

~

 

~

~

 

2) ~a b α

 

(α~a, b) = α(~a, b)

3. Положительная определенность

6 ~

1)~a = 0 (~a, ~a) > 0

~

2) ~a (~a, ~a) = 0 ~a = 0

Аналитическая геометрия. Лекция 3

Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Свойства скалярного произведения

Скалярное произведение векторов

Свойства скалярного произведения

1.

Симметричность

 

 

 

~

~

~

 

 

~a b (~a, b) = (b, ~a)

 

2.

Линейность

 

 

 

 

 

~

 

~

~

 

1) ~a b ~c

 

(~a + b, ~c) = (~a, ~c) + (b, ~c)

 

~

 

~

~

 

2) ~a b α

 

(α~a, b) = α(~a, b)

3. Положительная определенность

6 ~

1)~a = 0 (~a, ~a) > 0

~

2) ~a (~a, ~a) = 0 ~a = 0

Аналитическая геометрия. Лекция 3

Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Свойства скалярного произведения

Скалярное произведение векторов

Доказательство свойств скалярного произведения

~

~

~

1. ~a b

(~a, b) = (b, ~a)

~ ~

Заметим, что (~acb) = (bc~a).

 

 

~

~

~

~

~

Тогда (~a, b) = ~a||b| cos(~a b) = |~a||b| cos(−(b ~a)) =

~a

~b

cos(~b ~a) =|(~b, ~a).

c

 

c

|

|| |

c

 

 

 

 

Аналитическая геометрия. Лекция 3

Соседние файлы в папке Geom