Geom / AnGeom_3
.pdf
Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Скалярное произведение векторов
Деление отрезка в заданном отношении
Доказательство.
Пусть точка M(x, y, z) делит отрезок AB в отношении λ.
−−→ −−→
Тогда, по определению, AM = λMB.
−−→
Так как AM = {x − x1, y − y1, z − z1},
−−→
MB = {x2 − x, y2 − y, z2 − z}, то имеют место равенства:
x − x1 = λ(x2 − x) |
|
x(1 + λ) = x1 + λx2 |
|
||||||||
z − z1 |
= λ(z2 |
−z) |
|
z(1 + λ) = z1 |
+ λz2 |
||||||
y y1 |
= λ(y2 |
y) |
|
|
y(1 + λ) = y1 |
+ λy2 |
|
||||
− x = |
x1 +−λx2 |
, y = |
y1 + λy2 |
, z = |
z1 + λz2 |
. |
|
||||
1 + λ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 + λ |
1 + λ |
|
|||||
Аналитическая геометрия. Лекция 3
Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Скалярное произведение векторов
Деление отрезка в заданном отношении
Доказательство.
Пусть точка M(x, y, z) делит отрезок AB в отношении λ.
−−→ −−→
Тогда, по определению, AM = λMB.
−−→
Так как AM = {x − x1, y − y1, z − z1},
−−→
MB = {x2 − x, y2 − y, z2 − z}, то имеют место равенства:
x − x1 = λ(x2 − x) |
|
x(1 + λ) = x1 + λx2 |
|
||||||||
z − z1 |
= λ(z2 |
−z) |
|
z(1 + λ) = z1 |
+ λz2 |
||||||
y y1 |
= λ(y2 |
y) |
|
|
y(1 + λ) = y1 |
+ λy2 |
|
||||
− x = |
x1 +−λx2 |
, y = |
y1 + λy2 |
, z = |
z1 + λz2 |
. |
|
||||
1 + λ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 + λ |
1 + λ |
|
|||||
Аналитическая геометрия. Лекция 3
Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Скалярное произведение векторов
Деление отрезка в заданном отношении
Доказательство.
Пусть точка M(x, y, z) делит отрезок AB в отношении λ.
−−→ −−→
Тогда, по определению, AM = λMB.
−−→
Так как AM = {x − x1, y − y1, z − z1},
−−→
MB = {x2 − x, y2 − y, z2 − z}, то имеют место равенства:
x − x1 = λ(x2 − x) |
|
x(1 + λ) = x1 + λx2 |
|
||||||||
z − z1 |
= λ(z2 |
−z) |
|
z(1 + λ) = z1 |
+ λz2 |
||||||
y y1 |
= λ(y2 |
y) |
|
|
y(1 + λ) = y1 |
+ λy2 |
|
||||
− x = |
x1 +−λx2 |
, y = |
y1 + λy2 |
, z = |
z1 + λz2 |
. |
|
||||
1 + λ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 + λ |
1 + λ |
|
|||||
Аналитическая геометрия. Лекция 3
Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Свойства скалярного произведения
Скалярное произведение векторов
Длина вектора
Утверждение.
Пусть в прямоугольной системе координат вектор ~v имеет координаты {x1, x2, x3}. Тогда длина вектора ~v равна
q
x21 + x22 + x23.
Аналитическая геометрия. Лекция 3
Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Свойства скалярного произведения
Скалярное произведение векторов
Угол между двумя векторами
Определение.
Углом между двумя векторами и ~ называется кратчайший
~a b
~ ~
угол поворота от ~a к b, если ~a и b отложены от одной точки.
Аналитическая геометрия. Лекция 3
Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Свойства скалярного произведения
Скалярное произведение векторов
Скалярное произведение векторов
Определение.
|
~ |
Скалярным произведением векторов ~a и b называется число, |
|
~ |
~ |
равное ~a||b| cos(~a b). |
|
Обозначение.| |
c |
~ скалярным произведением векторов.
(~a, b)
Аналитическая геометрия. Лекция 3
Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Свойства скалярного произведения
Скалярное произведение векторов
Свойства скалярного произведения
1. |
Симметричность |
|
|
||
|
~ |
~ |
~ |
|
|
|
~a b (~a, b) = (b, ~a) |
|
|||
2. |
Линейность |
|
|
|
|
|
~ |
|
~ |
~ |
|
|
1) ~a b ~c |
|
(~a + b, ~c) = (~a, ~c) + (b, ~c) |
||
|
~ |
|
~ |
~ |
|
|
2) ~a b α |
|
(α~a, b) = α(~a, b) |
||
3. Положительная определенность
6 ~
1)~a = 0 (~a, ~a) > 0
~
2) ~a (~a, ~a) = 0 ~a = 0
Аналитическая геометрия. Лекция 3
Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Свойства скалярного произведения
Скалярное произведение векторов
Свойства скалярного произведения
1. |
Симметричность |
|
|
||
|
~ |
~ |
~ |
|
|
|
~a b (~a, b) = (b, ~a) |
|
|||
2. |
Линейность |
|
|
|
|
|
~ |
|
~ |
~ |
|
|
1) ~a b ~c |
|
(~a + b, ~c) = (~a, ~c) + (b, ~c) |
||
|
~ |
|
~ |
~ |
|
|
2) ~a b α |
|
(α~a, b) = α(~a, b) |
||
3. Положительная определенность
6 ~
1)~a = 0 (~a, ~a) > 0
~
2) ~a (~a, ~a) = 0 ~a = 0
Аналитическая геометрия. Лекция 3
Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Свойства скалярного произведения
Скалярное произведение векторов
Свойства скалярного произведения
1. |
Симметричность |
|
|
||
|
~ |
~ |
~ |
|
|
|
~a b (~a, b) = (b, ~a) |
|
|||
2. |
Линейность |
|
|
|
|
|
~ |
|
~ |
~ |
|
|
1) ~a b ~c |
|
(~a + b, ~c) = (~a, ~c) + (b, ~c) |
||
|
~ |
|
~ |
~ |
|
|
2) ~a b α |
|
(α~a, b) = α(~a, b) |
||
3. Положительная определенность
6 ~
1)~a = 0 (~a, ~a) > 0
~
2) ~a (~a, ~a) = 0 ~a = 0
Аналитическая геометрия. Лекция 3
Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Свойства скалярного произведения
Скалярное произведение векторов
Доказательство свойств скалярного произведения
~ |
~ |
~ |
1. ~a b |
(~a, b) = (b, ~a) |
|
~ − ~
Заметим, что (~acb) = (bc~a).
|
|
~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
Тогда (~a, b) = ~a||b| cos(~a b) = |~a||b| cos(−(b ~a)) = |
||||||
~a |
~b |
cos(~b ~a) =|(~b, ~a). |
c |
|
c |
|
| |
|| | |
c |
|
|
|
|
Аналитическая геометрия. Лекция 3