Geom / AnGeom_3

Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Геометрический смысл линейно зависимой системы

Скалярное произведение векторов

Пусть векторы {~a1, ~a2, ~a3} являются компланарными. Если векторы ~a1, ~a2 коллинеарны, то ~a1 = β~a2, и,

следовательно, имеет место равенство 1 − 2 3 ~. Т.о.

~a β~a + 0~a = 0

{~a1, ~a2, ~a3} являются линейно зависимыми.

Пусть векторы ~a1, ~a2 не коллинеарны. Так как все векторы, будучи отложенными от одной точки, лежат в одной плоскости, то найдутся такие числа β1 и β2, что

~a3 = β1~a1 + β2~a2.

В этом случае имеет место равенство 1 − 2 2 3 3 ~.

~a β ~a + β ~a = 0

Т.о. {~a1, ~a2, ~a3} являются линейно зависимыми.

Аналитическая геометрия. Лекция 3

Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Геометрический смысл линейно зависимой системы

Скалярное произведение векторов

4. В трехмерном пространстве любая система векторов, состоящая из четырех или большего числа векторов, является линейно зависимой.

Рассмотрим систему векторов {~a1, ~a2, ~a3, ~a4}. Если векторы {~a1, ~a2, ~a3} являются компланарными, т.е. линейно зависимыми (см. п. 3), то исходная система является линейно зависимой (свойство 3). Пусть {~a1, ~a2, ~a3} не являются компланарными. Тогда существуют числа β1, β2, β3, что ~a4 = β1~a1 + β2~a2 + β3~a3. Следовательно, векторы {~a1, ~a2, ~a3, ~a4} являются линейно зависимыми.

Аналитическая геометрия. Лекция 3

Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Геометрический смысл линейно зависимой системы

Скалярное произведение векторов

Базис

Определение.

Базисом на плоскости (в пространстве) называется упорядоченная пара (тройка) линейно независимых векторов плоскости (пространства).

Определение.

Координатами вектора ~a в данном базисе {~e1, ~e2, ~e3} называются коэффициенты {α1, α2, α3} в линейном разложении по базису ~a = α1~e1 + α2~e2 + α3~e3.

Аналитическая геометрия. Лекция 3

Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Геометрический смысл линейно зависимой системы

Скалярное произведение векторов

Базис

Определение.

Базисом на плоскости (в пространстве) называется упорядоченная пара (тройка) линейно независимых векторов плоскости (пространства).

Определение.

Координатами вектора ~a в данном базисе {~e1, ~e2, ~e3} называются коэффициенты {α1, α2, α3} в линейном разложении по базису ~a = α1~e1 + α2~e2 + α3~e3.

Аналитическая геометрия. Лекция 3

Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Скалярное произведение векторов

Деление отрезка в заданном отношении

Определение.

Точка M делит отрезок AB в отношении λ, если выполнено

равенство

−−→ −−→

AM = λMB.

Аналитическая геометрия. Лекция 3

Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Скалярное произведение векторов

Деление отрезка в заданном отношении

Определение.

Точка M делит отрезок AB в отношении λ, если выполнено

равенство

−−→ −−→

AM = λMB.

λ =?

Аналитическая геометрия. Лекция 3

Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Скалярное произведение векторов

Деление отрезка в заданном отношении

Определение.

Точка M делит отрезок AB в отношении λ, если выполнено

равенство

−−→ −−→

AM = λMB.

λ = 1

Аналитическая геометрия. Лекция 3

Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Скалярное произведение векторов

Деление отрезка в заданном отношении

Определение.

Точка M делит отрезок AB в отношении λ, если выполнено

равенство

−−→ −−→

AM = λMB.

λ =?

Аналитическая геометрия. Лекция 3

Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Скалярное произведение векторов

Деление отрезка в заданном отношении

Определение.

Точка M делит отрезок AB в отношении λ, если выполнено

равенство

−−→ −−→

AM = λMB.

λ = −3

Аналитическая геометрия. Лекция 3

Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Скалярное произведение векторов

Деление отрезка в заданном отношении

Теорема.

Пусть A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) две точки. Тогда для любого числа λ 6= −1 существует точка M(x, y, z), которая делит отрезок AB в отношении λ. Более того, справедливы равенства

Аналитическая геометрия. Лекция 3