Geom / AnGeom_3
.pdf
Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Свойства скалярного произведения
Скалярное произведение векторов
Доказательство свойств скалярного произведения
~ |
|
~ |
~ |
|
|
2.2) ~a b α |
(α~a, b) = α(~a, b) |
|
|
||
Если α = 0, то свойство, очевидно, выполняется. |
|
|
|||
|
~ |
~ |
~ |
|
~ |
Заметим, что (~a b) = (α~a b), если α > 0, и (~a b) = π |
− |
(α~a b), |
|||
если α < 0. |
c |
d |
c |
d |
|
Аналитическая геометрия. Лекция 3
Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Свойства скалярного произведения
Скалярное произведение векторов
Доказательство свойств скалярного произведения
~ |
α |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
2.2) ~a b |
(α~a, b) = α(~a, b) |
|
|
|
|||||||||
Тогда, если α > 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
~ |
|
~ |
|
|
|
~ |
|
|
|
~ |
~ |
~ |
|
(α~a, b) = |α~a||b| cos(α~a b) = |α||~a||b| cos(~a b) = α(~a, b). |
|||||||||||||
Если α < 0, (α~a, b) |
d |
|
~ |
|
|
~ |
c |
|
|||||
|
|
|
~ |
|
| |
|
|
| |
|
|
|
||
|
|
|
|
= |
α~a |
|| |
cos(α~a b) = |
|
|||||
α ~a b cos(π |
|
(~a b)) = |
|
α (~a, b)d |
~ |
. |
|||||||
~ |
|
− |
~ |
|
|
|
−| |
| |
~ |
|
|
||
| || || | |
|
c |
|
|
|
|
= α(~a, b) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Аналитическая геометрия. Лекция 3
Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Свойства скалярного произведения
Скалярное произведение векторов
Доказательство свойств скалярного произведения
~ |
α |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
2.2) ~a b |
(α~a, b) = α(~a, b) |
|
|
|
|||||||||
Тогда, если α > 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
~ |
|
~ |
|
|
|
~ |
|
|
|
~ |
~ |
~ |
|
(α~a, b) = |α~a||b| cos(α~a b) = |α||~a||b| cos(~a b) = α(~a, b). |
|||||||||||||
Если α < 0, (α~a, b) |
d |
|
~ |
|
|
~ |
c |
|
|||||
|
|
|
~ |
|
| |
|
|
| |
|
|
|
||
|
|
|
|
= |
α~a |
|| |
cos(α~a b) = |
|
|||||
α ~a b cos(π |
|
(~a b)) = |
|
α (~a, b)d |
~ |
. |
|||||||
~ |
|
− |
~ |
|
|
|
−| |
| |
~ |
|
|
||
| || || | |
|
c |
|
|
|
|
= α(~a, b) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Аналитическая геометрия. Лекция 3
Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Свойства скалярного произведения
Скалярное произведение векторов
Доказательство свойств скалярного произведения
3.1) ~a |
~ |
|
6= 0 (~a, ~a) > 0 |
~ |
|
3.2) ~a |
(~a, ~a) = 0 ~a = 0 |
|
Пусть 6 ~. Тогда,
~a = 0
| ||~| | |2 | |2
(~a, ~a) = ~a b cos(~ac~a) = ~a cos 0 = ~a > 0.
Если (~a, ~a) = 0, то (~a, ~a) = |~a|2 = 0. Следовательно
~
~a = 0.
Аналитическая геометрия. Лекция 3
Линейная зависимость и независимость векторов Деление отрезка в заданном отношении Свойства скалярного произведения
Скалярное произведение векторов
Доказательство свойств скалярного произведения
3.1) ~a |
~ |
|
6= 0 (~a, ~a) > 0 |
~ |
|
3.2) ~a |
(~a, ~a) = 0 ~a = 0 |
|
Пусть 6 ~. Тогда,
~a = 0
| ||~| | |2 | |2
(~a, ~a) = ~a b cos(~ac~a) = ~a cos 0 = ~a > 0.
Если (~a, ~a) = 0, то (~a, ~a) = |~a|2 = 0. Следовательно
~
~a = 0.
Аналитическая геометрия. Лекция 3