19. Довірчі інтервали для оцінок параметрів.

Довірчий інтервал — інтервал, у межах якого з заданою довірчою імовірністю можна чекати значення оцінюваної (шуканої) випадкової величини. Застосовується для більш повної оцінки точності в порівнянні з точковою оцінкою.

Інтервальна оцінка (довірчий інтервал) для параметра q набирає вигляду Параметр q - не випадкова величина, надійність g можна розглядати як імовірність того, що випадковий інтервал покриває дійсне значення параметра. Величини тісно зв’язані з обсягом вибірки Якщо задати дві з цих величин, то можна знайти третю. Для цього потрібно знати закон розподілу для

Для побудови довірчого інтервалу (чи границі) необхідно знати закон розподілу статистики z=z(x1,…,xn), по якій оцінюється невідомий параметр (такою статистикою може бути оцінка z = â(x1,…,xn) ). Один зі способів побудови полягає в наступному.

Виберемо діапазон для інтервалу так, щоб влучення в нього було практично вірогідно:

P{ f1 £ j(z, a) £ f2 } ³ PД , (3.1)

Перейдемо в (3.1) до іншого запису випадкової події. Розв’язуючи нерівності щодо параметра a, одержимо: P{ g(z, f1) £ a £ g(z, f2) } ³ PД .

Це співвідношення вірне при будь-якім значенні параметра a (оскільки це так для (1)), і тому, відповідно до визначення, випадковий інтервал ( g(z, f1), g(z, f2)) є довірчим для a з рівнем довіри РД . Якщо спадає по , інтервалом є ( g(z, f2), g(z, f1) ).

Для побудови однобічної границі для a виберемо значення і так, щоб

P{ j(z, a) ³ f1 } ³ PД , f1=Q(1 – PД )

чи P{ j(z, a) £ f2 } ³ PД , f2 = Q( PД ), де - квантиль рівня . Після розв’язання нерівності під знаком одержимо однобічні довірчі границі для a.

20. Перевірка достовірності оцінок параметрів за допомогою t -критерію.

Оскільки u і Â — лінійні функції від нормально розподілених змінних, то вони також розподілені нормально і, як було показано, їх коваріації дорівнюють нулю. Це дає нам змогу скористатися t-розподілом для перевірки гіпотез відносно статистичної значущості кожної з оцінок параметрів економетричної моделі.

Перевірку гіпотези виконаємо згідно з t-критерієм:

,

де — діагональний елемент матриці Знаменник відношення називається стандартною похибкою оцінки параметра моделі.

Обчислене значення t-критерію порівнюється з табличним при вибраному рівні значущості і ступенях свободи. Якщо t_факт > t_табл, то відповідна оцінка параметра економетричної моделі є статистично значущою.

21. Точковий та інтервальний прогноз на основі побудованої моделі лінійної множинної регресії.

Економетричне моделювання зв’язку між економічними показ­никами завжди складаєтьмя з трьох етапів:

1)побудови економетричної моделі;

2)перевірки статистичної значущості моделі та оцінювання її параметрів;

3)прогнозування на основі моделі.

Розглянемо спочатку точковий прогноз і припустимо, що ми визначили його як деяку лінійну функцію від y_i:

де і — номер спостереження (); — вагові коефіцієнти значень .

Оскільки то незміщена точкова оцінка прогнозу

де Х₀ — матриця очікуваних значень пояснювальних змінних.

Задаючи X₀, підставимо значення цього вектора в побудовану економетричну модель

Щоб дістати інтервальний прогноз, необхідно розрахувати середню похибку прогнозу. Вона зростає з віддаленням прогнозного значення від відповідного середнього значення вибірки. Для визначення інтервального прогнозу індивідуального значення необхідно знайти відповідну стандартну похибку.

Алгоритм:

1. Визначимо точкові прогнозні значення залежної змінної.

2. Визначаємо прогнозний інтервал математичного сподівання і стандартну похибку прогнозу математичного сподівання .

3.Знайдемо інтервальний прогноз для .

4. Обчислимо дисперсію і стандартну похибку прогнозу індивідуального значення і стандартну похибку прогнозу індивідуального значення y₀ .

5. Визначаємо інтервальний прогноз індивідуального значення y_0.