58. Експоненціальне згладжування.

Його особливість полягає в тому, що у процедурі відшукання загладжуваного рівня застосовуються значення тільки попередніх рівнів ряду, які беруться з певною вагою. Вага рівня ряду зменшується залежно від того, на скільки віддалений рівень від моменту часу, для якого визначається згладжуване значення. Вага рівнів знижується експоненціально, що залежить від зазначеної величини параметра згладжування α, значення якого міститься в інтервалі 0 < α < 1.

Якщо для вихідного часового ряду y₁, y₂, y₃, … y_n відповідні згладжені значення рівнів ряду позначити через S_t, t = 1,2, … n, то експоненціальне згладжування розраховується за формулою:

S_t = αy_t + (1 – α) S_t – 1, (11.7)

де α — параметр для згладжування; 1 – α має назву коефіцієнта дисконтування.

Використовуючи наведені щойно рекурентні співвідношення для всіх рівнів ряду, починаючи з першого, можна дістати таке співвідношення:

(11.8) згладжене значення S_t є зваженою середньою всіх попередніх рівнів.

У практичних задачах обробки економічних часових рядів рекомендують вибирати параметри згладжування в інтервалі від 0,1 до 0,3. В окремих випадках Р. Браун пропонує визначати величину стосовно α, виходячи з величини інтервалу згладжування ряду: , де m - інтервал згладжування ряду.

Що стосується початкового параметра S₀, то в конкретних задачах його беруть або за значенням першого рівня ряду y₁, або як середню арифметичну кількох перших членів ряду, наприклад y₁, y₂, y₃:

.

Цей метод вибору значення S₀ забезпечує добру відповідність загладжуваного й вихідного рядів для перших рівнів.

59. Аналітичні методи згладжування часового ряду.

До методів аналітичного згладжування відносять регресійний аналіз разом із методом найменших квадратів та його модифікаціями. Виявити основну тенденцію аналітичним методом - означає надати досліджуваному процесу однакового розвитку впродовж усього часу спостереження. Тому для цих методів важливо обрати оптимальну функцію детермінованого трен­ду (кривої зростання), яка згладжує ряд спостережень .

Регресійний аналіз. Оцінювання параметрів кривих зростання здійснюють на підставі побудови моделі регресії, в якій пояснювальною змінною є час:

(3.2.1)

де — функція тренду (крива зростання);

— невідомі випадкові похибки.

Довжина часового ряду суттєво перевищує ступінь полінома , а випадкові залишки мають властивості «білого шуму», тобто

, (3.2.3)

тоді оцінки параметрів можна одержати методом найменших квадратів (МНК). МНК-оцінки параметрів лінійної регресії за умови мінімізації суми квадратів відхилень точок вхідного часового ряду від їхніх згладжених значень :

(3.2.4)

обчислюють за формулою:

, (3.2.5)

Методи, розроблені для статистичних сукупностей, уможливлюють визначення інтервалу надійності прогнозу, який залежить від стандартної похибки оцінки прогнозованого показника, від часу випередження прогнозу, від довжини прогнозової бази та обраного рівня значущості.

Іноді для розрахунку інтервалів надійності прогнозу відносно лінійного тренду застосовують формулу:

,

або

, (3.2.7)

Формула для розрахунку інтервалів надійності прогнозу відносно тренду, який має вид полінома другого або третього порядку, виглядає так:

. (3.2.8)

Аналогічно розраховують інтервали надійності для кривих зростання, які можна звести до лінійної функції.

Якщо припустити, що випадкова змінна () є стаціонарним часовим рядом, то похибка прогнозу становитиме

.